Seja W=(x, y, z, w) in R^4 ; x-y+z=0, x+y+w=0
(a) Determine uma base ortogonal de W.
(b) Encontre uma base para W^perp.
© Calcule a projeção de u=(1,1,1,1) sobre W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um conjunto W = (x, y, z, w) in R^4 ; x - y + z = 0, x + y + w = 0 definido por duas equações lineares em :
Nosso objetivo é:
a) Encontrar uma base ortogonal para .
b) Encontrar uma base para o complemento ortogonal .
c) Calcular a projeção do vetor sobre .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de álgebra linear como espaços vetoriais, bases, ortogonalidade e projeções. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que é x - y + z = 0 x + y + w = 0 . As equações que definem são:
Isso significa que é o conjunto de todos os vetores em que satisfazem essas duas equações. Nosso primeiro passo é expressar algumas variáveis em termos das outras para parametrizar .

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações para expressar x - y + z = 0 Rightarrow x = y - z e x + y + w = 0 Rightarrow w = -x - y = -(y - z) - y = -2y + z em termos de (x, y, z, w) = (y - z, y, z, -2y + z ) e :
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Então, podemos escrever qualquer vetor em como:

Passo 4

Agora, vamos parametrizar (x, y, z, w) = y(1, 1, 0, -2) + z(-1, 0, 1, 1) usando as variáveis livres e . Podemos escrever:
Isso nos mostra que é gerado pelos vetores e . Portanto, uma base de é .

Passo 5

Agora, para encontrar uma base ortogonal para u1 = v1 = (1, 1, 0, -2) , precisamos aplicar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt aos vetores proju1 v2 = v2 cdot u1u1 cdot u1 u1 e .
Primeiro, definimos:
Em seguida, projetamos sobre e subtraímos essa projeção de para obter :

Passo 6

Calculando os produtos internos:
v2 cdot u1 = (-1)(1) + (0)(1) + (1)(0) + (1)(-2) = -1 + 0 + 0 -2 = -3
u1 cdot u1 = 1^2 + 1^2 + 0^2 + (-2)^2 = 1 + 1 + 0 + 4 = 6
Então:
proju1 v2 = -36 u1 = -12(1, 1, 0, -2) = (-12, -12, 0, 1 )

Passo 7

Agora, subtraímos essa projeção de u2 = v2 - proju1 v2 = (-1, 0, 1, 1 ) - (-12, -12, 0, 1 ) = (-12, 12, 1, 0 ) para obter :

Passo 8

Agora, temos dois vetores ortogonais:
u1 = (1, 1, 0, -2) e u2 = (-12, 12, 1, 0 )
Para garantir que eles formem uma base ortogonal, precisamos verificar se o produto interno entre eles é zero:
u1 cdot u2 = 1 cdot (-12) + 1 cdot (12) + 0 cdot 1 + (-2) cdot 0 = -12 + 12 + 0 + 0 = 0
Está tudo certo! Assim, é uma base ortogonal para .

Passo 9

Respondendo a parte (a):
Uma base ortogonal para u1 = (1, 1, 0, -2) e u2 = (-12, 12, 1, 0 ) é formada pelos vetores:

Passo 10

Agora, vamos para a parte (b): encontrar uma base para , o complemento ortogonal de .
Sabemos que, no espaço , se tem dimensão 2, então também terá dimensão .
Os vetores em são todos os vetores que são ortogonais a todos os vetores de . Como é definido pelas duas equações lineares, será o espaço gerado pelos coeficientes dessas equações.

Passo 11

As equações que definem x - y + z = 0 e x + y + w = 0 são:
n1 = (1, -1, 1, 0) e n2 = (1, 1, 0, 1)
Os coeficientes desses sistemas formam os vetores:
Esses vetores são ortogonais a todos os vetores em , então eles formam uma base para .

Passo 12

Respondendo a parte (b):
Uma base para n1 = (1, -1, 1, 0) e n2 = (1, 1, 0, 1) é formada pelos vetores:

Passo 13

Finalmente, vamos para a parte ©: calcular a projeção do vetor projW u = u cdot u1u1 cdot u1 u1 + u cdot u2u2 cdot u2 u2 sobre .
A projeção de sobre pode ser encontrada usando a base ortogonal que obtivemos em (a). A fórmula para a projeção é:

Passo 14

Vamos calcular cada termo:
Primeiro, (1)^2 + (1)^2 + (0)^2 + (-2)^2 = 1 + 1 + 0 + 4 = 6 :
1 cdot 1 + 1 cdot 1 + 1 cdot 0 + 1 cdot (-2) = 1 + 1 + 0 - 2 = 0
Segundo, (-12)^2 + (12)^2 + (1)^2 + (0)^2 = 14 + 14 + 1 + 0 = 32 :
1 cdot (-12) + 1 cdot (12) + 1 cdot 1 + 1 cdot 0 = -12 + 12 + 1 + 0 = 1
Terceiro, :
Quarto, :

Passo 15

Agora, substituímos na fórmula da projeção:
projW u = 06 u1 + 132 u2 = 0 cdot u1 + 23 u2
Portanto:
projW u = 23 (-12, 12, 1, 0 ) = (-13, 13, 23, 0 )

Resposta

a) Uma base ortogonal para é .
b) Uma base para é .
c) A projeção de sobre é .

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