Seja
(a) Determine uma base ortogonal de
.
(b) Encontre uma base para
.
© Calcule a projeção de
sobre
.
(a) Determine uma base ortogonal de
(b) Encontre uma base para
© Calcule a projeção de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um conjunto
definido por duas equações lineares em
:
Nosso objetivo é:
a) Encontrar uma base ortogonal para
.
b) Encontrar uma base para o complemento ortogonal
.
c) Calcular a projeção do vetor
sobre
.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de álgebra linear como espaços vetoriais, bases, ortogonalidade e projeções. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que é
. As equações que definem
são:
Isso significa que
é o conjunto de todos os vetores
em
que satisfazem essas duas equações. Nosso primeiro passo é expressar algumas variáveis em termos das outras para parametrizar
.
Passo 3
Vamos resolver o sistema de equações para expressar
e
em termos de
e
:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Então, podemos escrever qualquer vetor em
como:
Passo 4
Agora, vamos parametrizar
usando as variáveis livres
e
. Podemos escrever:
Isso nos mostra que
é gerado pelos vetores
e
. Portanto, uma base de
é
.
Passo 5
Agora, para encontrar uma base ortogonal para
, precisamos aplicar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt aos vetores
e
.
Primeiro, definimos:
Em seguida, projetamos
sobre
e subtraímos essa projeção de
para obter
:
Passo 6
Calculando os produtos internos:
Então:
Passo 7
Agora, subtraímos essa projeção de
para obter
:
Passo 8
Agora, temos dois vetores ortogonais:
Para garantir que eles formem uma base ortogonal, precisamos verificar se o produto interno entre eles é zero:
Está tudo certo! Assim,
é uma base ortogonal para
.
Passo 9
Respondendo a parte (a):
Uma base ortogonal para
é formada pelos vetores:
Passo 10
Agora, vamos para a parte (b): encontrar uma base para
, o complemento ortogonal de
.
Sabemos que, no espaço
, se
tem dimensão 2, então
também terá dimensão
.
Os vetores em
são todos os vetores que são ortogonais a todos os vetores de
. Como
é definido pelas duas equações lineares,
será o espaço gerado pelos coeficientes dessas equações.
Passo 11
As equações que definem
são:
Os coeficientes desses sistemas formam os vetores:
Esses vetores são ortogonais a todos os vetores em
, então eles formam uma base para
.
Passo 12
Respondendo a parte (b):
Uma base para
é formada pelos vetores:
Passo 13
Finalmente, vamos para a parte ©: calcular a projeção do vetor
sobre
.
A projeção de
sobre
pode ser encontrada usando a base ortogonal que obtivemos em (a). A fórmula para a projeção é:
Passo 14
Vamos calcular cada termo:
Primeiro,
:
Segundo,
:
Terceiro,
:
Quarto,
:
Passo 15
Agora, substituímos na fórmula da projeção:
Portanto:
Resposta
a) Uma base ortogonal para
é
.
b) Uma base para
é
.
c) A projeção de
sobre
é
.