Use o processo de Gram-Schmidt para obter uma base ortogonal de
a partir da base
Passo 1
Beleza, vamos começar! A gente tem que usar o processo de Gram-Schmidt para transformar a base inicial
em uma base ortogonal no espaço
. Isso envolve usar conceitos de produto interno e projeções para garantir que os vetores resultantes sejam perpendiculares entre si. Bora resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos definir o primeiro vetor da nossa nova base ortogonal. No Gram-Schmidt, a gente começa pegando o primeiro vetor da base original e deixando ele igual, já que não tem como projetar nada nele ainda. Então:
Passo 3
Agora, vamos construir o segundo vetor ortogonal. Para isso, pegamos
e subtraímos a projeção de
sobre
.
A fórmula da projeção é:
Vamos calcular passo a passo:
- Produto interno de
e :
- Produto interno de
consigo mesmo:
- Projeção:
Então, o segundo vetor ortogonal é:
Passo 4
Agora, vamos achar o terceiro vetor ortogonal
. Para isso, pegamos
e subtraímos as projeções sobre
e
.
A fórmula fica:
Vamos calcular cada projeção:
- Projeção de
sobre :
- Projeção de
sobre :
Agora, subtraímos essas projeções de
:
Simplificando as frações:
Resposta
A base ortogonal obtida pelo processo de Gram-Schmidt é: