Use o processo de Gram-Schmidt para obter uma base ortogonal de R^3 a partir da base
u1=(0,1,1), u2=(1,1,-1), u3=(-1,0,1)

Passo 1

Beleza, vamos começar! A gente tem que usar o processo de Gram-Schmidt para transformar a base inicial em uma base ortogonal no espaço . Isso envolve usar conceitos de produto interno e projeções para garantir que os vetores resultantes sejam perpendiculares entre si. Bora resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos definir o primeiro vetor da nossa nova base ortogonal. No Gram-Schmidt, a gente começa pegando o primeiro vetor da base original e deixando ele igual, já que não tem como projetar nada nele ainda. Então:
v1 = u1 = (0, 1, 1)

Passo 3

Agora, vamos construir o segundo vetor ortogonal. Para isso, pegamos projv1(u2) = u2 cdot v1v1 cdot v1 v1 e subtraímos a projeção de u2 cdot v1 = (1)(0) + (1)(1) + (-1)(1) = 0 + 1 - 1 = 0 sobre v1 cdot v1 = 0^2 + 1^2 + 1^2 = 0 + 1 + 1 = 2 .
A fórmula da projeção é:
projv1(u2) = 02 v1 = (0, 0, 0)
Vamos calcular passo a passo:
  1. Produto interno de v2 = u2 - projv1(u2) = (1, 1, -1) - (0, 0, 0) = (1, 1, -1) e :
  1. Produto interno de consigo mesmo:
  1. Projeção:
Então, o segundo vetor ortogonal é:

Passo 4

Agora, vamos achar o terceiro vetor ortogonal v3 = u3 - projv1(u3) - projv2(u3) . Para isso, pegamos u3 cdot v1 = (-1)(0) + (0)(1) + (1)(1) = 0 + 0 + 1 = 1 e subtraímos as projeções sobre projv1(u3) = 12 v1 = (0, 12, 12) e u3 cdot v2 = (-1)(1) + (0)(1) + (1)(-1) = -1 + 0 -1 = -2 .
A fórmula fica:
v2 cdot v2 = 1^2 + 1^2 + (-1)^2 = 1 + 1 + 1 = 3
Vamos calcular cada projeção:
  1. Projeção de projv2(u3) = -23 v2 = (-23, -23, 23) sobre v3 = (-1, 0, 1) - (0, 12, 12) - (-23, -23, 23) :
v3 = (-1 + 23, 0 - 12 + 23, 1 - 12 - 23)
v3 = (-13, 16, -16)
  1. Projeção de sobre :
Agora, subtraímos essas projeções de :
Simplificando as frações:

Resposta

A base ortogonal obtida pelo processo de Gram-Schmidt é:
v1 = (0, 1, 1), v2 = (1, 1, -1), v3 = (-13, 16, -16)

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