Seja . Se o número complexo i é raiz simples da equação , então o domínio da função é ].

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um polinômio e sabemos que o número complexo é uma raiz simples dessa equação . Precisamos determinar o domínio da função .
Matéria envolvida: Polinômios, raízes de equações polinomiais, números complexos, funções e seus domínios.
O que precisamos: Encontrar os valores de para os quais é não negativo, já que a função envolve uma raiz quadrada.

Passo 2

Primeiro, sabemos que é uma raiz de . Como os coeficientes do polinômio são reais, o conjugado de , que é , também será uma raiz. Então, temos duas raízes complexas: e .

Passo 3

Agora, vamos fatorar o polinômio sabendo que e são raízes. As raízes complexas formam um par conjugado, e o fator correspondente é .

Passo 4

Dividindo pelo fator , encontramos os outros fatores do polinômio. Fazendo a divisão:

Passo 5

Agora, temos . Para encontrar onde é não negativo, analisamos o sinal de cada fator:
  1. é sempre positivo, pois e adicionando 1 resulta em um valor positivo para qualquer .
  2. pode ser positivo ou negativo, dependendo do valor de .

Passo 6

Vamos resolver a inequação . Para isso, encontramos as raízes dessa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
As raízes são e .

Passo 7

Como o coeficiente de é positivo, a parábola abre para cima. Portanto, a expressão será positiva fora do intervalo entre as raízes e negativa dentro desse intervalo.

Passo 8

Assim, a inequação é satisfeita para:

Passo 9

Como é sempre positivo, a função estará definida quando . Portanto, o domínio de é:

Resposta

O domínio da função é .

Exercícios relacionados

Sejam x, y e z números reais positivos. O valor de que satisfaz a expressão é .
(Uepg) Considerando que e c são as raízes da equação , assinale o que for correto.
Se e são as raízes da equação , então .
Estudar, no que se refere a máximos e mínimos, as seguintes funções:
com