Seja
. Se o número complexo i é raiz simples da equação
, então o domínio da função
é ].
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um polinômio
e sabemos que o número complexo
é uma raiz simples dessa equação
. Precisamos determinar o domínio da função
.
Matéria envolvida: Polinômios, raízes de equações polinomiais, números complexos, funções e seus domínios.
O que precisamos: Encontrar os valores de
para os quais
é não negativo, já que a função envolve uma raiz quadrada.
Passo 2
Primeiro, sabemos que
é uma raiz de
. Como os coeficientes do polinômio são reais, o conjugado de
, que é
, também será uma raiz. Então, temos duas raízes complexas:
e
.
Passo 3
Agora, vamos fatorar o polinômio
sabendo que
e
são raízes. As raízes complexas formam um par conjugado, e o fator correspondente é
.
Passo 4
Dividindo
pelo fator
, encontramos os outros fatores do polinômio. Fazendo a divisão:
Passo 5
Agora, temos
. Para encontrar onde
é não negativo, analisamos o sinal de cada fator:
-
é sempre positivo, pois e adicionando 1 resulta em um valor positivo para qualquer . -
pode ser positivo ou negativo, dependendo do valor de .
Passo 6
Vamos resolver a inequação
. Para isso, encontramos as raízes dessa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
As raízes são
e
.
Passo 7
Como o coeficiente de
é positivo, a parábola
abre para cima. Portanto, a expressão
será positiva fora do intervalo entre as raízes e negativa dentro desse intervalo.
Passo 8
Assim, a inequação
é satisfeita para:
Passo 9
Como
é sempre positivo, a função
estará definida quando
. Portanto, o domínio de
é:
Resposta
O domínio da função
é
.
Exercícios relacionados
Sejam x, y e z números reais positivos. O valor de
que satisfaz a expressão
é
.
(Uepg) Considerando que
e c são as raízes da equação
, assinale o que for correto.
Se
e
são as raízes da equação
, então
.
Estudar, no que se refere a máximos e mínimos, as seguintes funções:
com