Seja a parte do cilindro limitada pelos planos e .
© Usando (a), determine a área da superfície .
Resp.: .

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede e identificar o que precisamos para resolver. Temos um cilindro definido pela equação , e queremos encontrar a área da parte desse cilindro que está limitada pelos planos e . Isso envolve conhecimentos de cálculo multivariado, especificamente no cálculo de áreas de superfícies usando integrais. Para resolver, vamos precisar parametrizar o cilindro, definir os limites de integração e calcular a integral que representa a área da superfície .

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o cilindro . Podemos usar coordenadas cilíndricas para simplificar. Em coordenadas cilíndricas, temos:
Aqui, varia de a para cobrir toda a circunferência do cilindro.

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites para a variável . O cilindro está limitado pelos planos (base inferior) e (base superior). Substituindo na equação do plano superior, temos:
Portanto, para cada , varia de 0 a .

Passo 4

A diferencial de área para o cilindro em coordenadas cilíndricas é dada por:
No nosso caso, como é uma função de , podemos simplificar e usar:
Calculando as derivadas:
Então:
Mas para simplificação, considerando a geometria do cilindro, podemos perceber que a área lateral de um cilindro é dada por:
onde é o raio e é a altura média.

Passo 5

Calculando a área usando a fórmula da área lateral do cilindro:
é
Como , a altura média pode ser considerada como:
Então, a área é:

Resposta

A área da superfície é .

Exercícios relacionados

Seja a parte do cilindro limitada pelos planos e .
(b) Encontre em cada ponto de , de modo que ele aponte para fora.
Seja é a parte do cone situada entre os planos e . Encontre uma parametrização para e utilize-a para calcular a integral .
Resp.: .
Utilize o Teorema de Stokes para calcular a integral
em que é a interseção do parabolóide com o cilindro , orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Resp.: .
Utilize o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo vetorial
através da semi-esfera superior , orientada com o normal apontando para fora.
Resp.: .