Seja S a parte do cilindro x^2 + y^2 = 4 limitada pelos planos z = 0 e z = y + 2.
© Usando (a), determine a área da superfície S.
Resp.: 8 pi.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede e identificar o que precisamos para resolver. Temos um cilindro definido pela equação , e queremos encontrar a área da parte desse cilindro que está limitada pelos planos e . Isso envolve conhecimentos de cálculo multivariado, especificamente no cálculo de áreas de superfícies usando integrais. Para resolver, vamos precisar parametrizar o cilindro, definir os limites de integração e calcular a integral que representa a área da superfície .

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o cilindro . Podemos usar coordenadas cilíndricas para simplificar. Em coordenadas cilíndricas, temos:
Aqui, varia de a para cobrir toda a circunferência do cilindro.

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites para a variável . O cilindro está limitado pelos planos (base inferior) e (base superior). Substituindo na equação do plano superior, temos:
Portanto, para cada , varia de 0 a .

Passo 4

A diferencial de área para o cilindro em coordenadas cilíndricas é dada por:
No nosso caso, como é uma função de , podemos simplificar e usar:
Calculando as derivadas:
Então:
Mas para simplificação, considerando a geometria do cilindro, podemos perceber que a área lateral de um cilindro é dada por:
onde é o raio e é a altura média.

Passo 5

Calculando a área usando a fórmula da área lateral do cilindro:
é
Como , a altura média pode ser considerada como:
Então, a área é:

Resposta

A área da superfície é .

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