Seja partial w / partial x+partial w / partial y+partial w / partial z=0. Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:
(c) w=ln (e^x+e^y+e^z)

Passo 1

Então, temos a equação diferencial parcial partial wpartial x + partial wpartial y + partial wpartial z = 0. A função que queremos verificar se satisfaz essa equação é w = ln (e^x + e^y + e^z). Para resolver, vamos calcular as derivadas parciais de w em relação a cada variável ( x, y, z) e verificar se a soma delas é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de w em relação a x. Lembre-se que a derivada de ln(u) em relação a x é 1u cdot partial upartial x.
Então,
partial wpartial x = 1e^x + e^y + e^z cdot e^x = e^xe^x + e^y + e^z

Passo 3

Agora, fazemos o mesmo para a derivada parcial de w em relação a y.
partial wpartial y = 1e^x + e^y + e^z cdot e^y = e^ye^x + e^y + e^z

Passo 4

E, por fim, calculamos a derivada parcial de w em relação a z.
partial wpartial z = 1e^x + e^y + e^z cdot e^z = e^ze^x + e^y + e^z

Passo 5

Agora, somamos as três derivadas parciais que obtivemos:
partial wpartial x + partial wpartial y + partial wpartial z = e^x + e^y + e^ze^x + e^y + e^z = 1
Isso não é igual a zero, então a soma das derivadas não satisfaz a equação dada.

Resposta

A função w = ln (e^x + e^y + e^z) não satisfaz a equação diferencial parcial partial wpartial x + partial wpartial y + partial wpartial z = 0. A soma das derivadas parciais resulta em 1, e não em 0.

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