Seja uma partícula pontual descrevendo uma trajetória retilínea. A função que expressa a posição S dessa partícula em relação ao tempo t é dada por:
S(t)=10+2 t-0,1 t^2
Com base nessa relação calcule:
f) A distância percorrida d percorrida quando o tempo t for igual a 30 s

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função posição que descreve a posição de uma partícula ao longo do tempo em uma trajetória retilínea. Precisamos calcular a distância percorrida pela partícula quando o tempo for igual a 30 segundos. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente posição, velocidade e distância percorrida.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula em função do tempo. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então,
v(t) = dSdt = ddt(10 + 2t - 0,1t^2) = 2 - 0,2t

Passo 3

Agora, vamos identificar se a velocidade muda de direção ao longo do intervalo de tempo considerado. Para isso, encontramos o tempo em que a velocidade é zero:
2 - 0,2t = 0 0,2t = 2 t = 20,2 t = 10 , segundos
Isso significa que a partícula para de se mover para frente e começa a se mover para trás a partir de segundos.

Passo 4

Vamos calcular as posições nos instantes relevantes: S(0) = 10 + 2(0) - 0,1(0)^2 = 10 , unidades , S(10) = 10 + 2(10) - 0,1(10)^2 = 10 + 20 - 10 = 20 , unidades e S(30) = 10 + 2(30) - 0,1(30)^2 = 10 + 60 - 90 = -20 , unidades segundos.
Para :
Para :
Para :

Passo 5

Agora, vamos calcular a distância percorrida em cada intervalo de tempo.
Do d1 = |S(10) - S(0)| = |20 - 10| = 10 , unidades ao d2 = |S(30) - S(10)| = |-20 - 20| = 40 , unidades :
Do ao :

Passo 6

A distância total percorrida pela partícula ao longo dos 30 segundos é a soma das distâncias nos dois intervalos:
d = d1 + d2 = 10 + 40 = 50 , unidades

Resposta

A distância percorrida pela partícula quando o tempo for igual a 30 segundos é de 50 unidades.

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