O vetor posição de èuma partícula de massa 2 kg em relação a um observador inercial fixo num ponto O é dado por r=2 t^2 i+t j+t^4 k, onde todas as unidades são do SI.
Qual o momento angular da partícula em relação a O ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Física que envolve Momento Angular, um conceito importante na Mecânica. A gente tem uma partícula de 2 kg cuja posição em relação a um ponto fixo O é dada pela função vetorial r = 2 t^2 i + t j + t^4 k. Nosso objetivo é encontrar o momento angular dessa partícula em relação ao ponto O. Para isso, vamos precisar usar conceitos de Vetores, Derivadas e a definição de Momento Angular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Momento Angular ( L). Ele é definido como o produto vetorial entre o vetor posição ( r) e o vetor momento linear ( p) da partícula:
L = r times p
Onde o Momento Linear ( p) é dado por:
p = m v
Aqui, m é a massa da partícula e v é a velocidade.

Passo 3

Vamos encontrar a velocidade ( v) da partícula, que é a derivada do vetor posição ( r) em relação ao tempo ( t):
v = drdt
Dado que:
r = 2 t^2 i + t j + t^4 k
Vamos derivar cada componente:
ddt(2 t^2) = 4 t ddt(t) = 1 ddt(t^4) = 4 t^3
Portanto:
v = 4 t i + 1 j + 4 t^3 k

Passo 4

Agora, calculamos o Momento Linear ( p) multiplicando a massa ( m = 2 , kg) pela velocidade ( v):
p = m v = 2 times (4 t i + 1 j + 4 t^3 k) = 8 t i + 2 j + 8 t^3 k

Passo 5

Com o vetor posição ( r) e o momento linear ( p) em mãos, vamos calcular o Momento Angular ( L) utilizando o produto vetorial:
L = r times p
Expressando r e p em componentes:
r = 2 t^2 i + t j + t^4 k p = 8 t i + 2 j + 8 t^3 k
Vamos calcular cada componente do produto vetorial:
  • Componente i:
Li = (t) times (8 t^3) - (t^4) times (2) = 8 t^4 - 2 t^4 = 6 t^4
  • Componente j:
Lj = - [ (2 t^2) times (8 t^3) - (t^4) times (8 t) ] = - [ 16 t^5 - 8 t^5 ] = -8 t^5
  • Componente k:
Lk = (2 t^2) times (2) - (t) times (8 t) = 4 t^2 - 8 t^2 = -4 t^2

Resposta

Portanto, o Momento Angular da partícula em relação ao ponto O é dado por:
L = 6 t^4 i - 8 t^5 j - 4 t^2 k kg·m²/s ²

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