Seja o Plano pi: 3 x+y-z-4=0, calcule: O valor de k para que o plano pi1: k x-4 y+4 z-7=0 seja paralelo a pi.
27. Determine a equação geral do plano que é perpendicular a reta
r:l x=2 t+2 y=1-3 t z=4 t
e que contenha o ponto A(-1,2,3).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois planos: pi: 3x + y - z - 4 = 0 e pi1: kx - 4y + 4z - 7 = 0. Queremos encontrar o valor de k para que pi1 seja paralelo a pi. Para resolver isso, vamos precisar entender que dois planos são paralelos se os seus vetores normais forem proporcionais.

Passo 2

Primeiro, identificamos os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano da forma Ax + By + Cz + D = 0 é dado por (A, B, C). Então:
  • Para o plano pi, o vetor normal é n = (3, 1, -1).
  • Para o plano pi1, o vetor normal é n1 = (k, -4, 4).

Passo 3

Como os planos são paralelos, os vetores normais devem ser proporcionais. Isso significa que existe um escalar lambda tal que:
(k, -4, 4) = lambda (3, 1, -1)

Passo 4

Vamos igualar as componentes correspondentes:
k = 3lambda -4 = lambda 4 = -lambda
Analisando a segunda equação, temos lambda = -4. Substituindo na primeira:
k = 3 times (-4) = -12

Passo 5

Vamos analisar o que a questão solicita. Precisamos determinar a equação geral de um plano que seja perpendicular a uma reta dada e que contenha o ponto A(-1, 2, 3). Para isso, usaremos conceitos de geometria analítica sobre planos e retas.

Passo 6

Primeiro, identificamos a direção da reta r. A reta está parametrizada por:
r: x = 2t + 2 y = 1 - 3t z = 4t
O vetor diretor da reta é dado pelos coeficientes de t, ou seja, d = (2, -3, 4).

Passo 7

Para que o plano seja perpendicular à reta, o vetor diretor da reta deve ser perpendicular ao vetor normal do plano. Assim, o vetor normal do plano será paralelo ao vetor diretor da reta, ou seja, n = d = (2, -3, 4).

Passo 8

A equação geral do plano é dada por:
2(x - x0) - 3(y - y0) + 4(z - z0) = 0
Onde (x0, y0, z0) é o ponto que o plano contém, que é A(-1, 2, 3).

Passo 9

Substituindo as coordenadas de A na equação do plano:
2(x + 1) - 3(y - 2) + 4(z - 3) = 0
Distribuindo:
2x + 2 - 3y + 6 + 4z - 12 = 0
Simplificando:
2x - 3y + 4z - 4 = 0

Resposta

A equação geral do plano é 2x - 3y + 4z - 4 = 0.

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