Seja o Plano , calcule: O valor de para que o plano seja paralelo a .
27. Determine a equação geral do plano que é perpendicular a reta
e que contenha o ponto .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois planos: e . Queremos encontrar o valor de para que seja paralelo a . Para resolver isso, vamos precisar entender que dois planos são paralelos se os seus vetores normais forem proporcionais.

Passo 2

Primeiro, identificamos os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano da forma é dado por . Então:
  • Para o plano , o vetor normal é .
  • Para o plano , o vetor normal é .

Passo 3

Como os planos são paralelos, os vetores normais devem ser proporcionais. Isso significa que existe um escalar tal que:

Passo 4

Vamos igualar as componentes correspondentes:
Analisando a segunda equação, temos . Substituindo na primeira:

Passo 5

Vamos analisar o que a questão solicita. Precisamos determinar a equação geral de um plano que seja perpendicular a uma reta dada e que contenha o ponto . Para isso, usaremos conceitos de geometria analítica sobre planos e retas.

Passo 6

Primeiro, identificamos a direção da reta . A reta está parametrizada por:
O vetor diretor da reta é dado pelos coeficientes de , ou seja, .

Passo 7

Para que o plano seja perpendicular à reta, o vetor diretor da reta deve ser perpendicular ao vetor normal do plano. Assim, o vetor normal do plano será paralelo ao vetor diretor da reta, ou seja, .

Passo 8

A equação geral do plano é dada por:
Onde é o ponto que o plano contém, que é .

Passo 9

Substituindo as coordenadas de na equação do plano:
Distribuindo:
Simplificando:

Resposta

A equação geral do plano é .

Exercícios relacionados

Sejam
Determine a ordem de cada uma das matrizes e quais somas e produtos podem ser efetuados entre duas matrizes distintas das que foram dadas acima. Nos casos em que tais operações forem possíveis, determine os seus resultados. Calcule a transposta de cada matriz acima.
Verdadeiro ou Falso? No caso de ser verdadeiro provar a afirmativa e no caso de ser falso exibir um contra-exemplo.
(i) Se for possível efetuar o produto , então é uma matriz quadrada.
Verdadeiro ou Falso? No caso de ser verdadeiro provar a afirmativa e no caso de ser falso exibir um contra-exemplo.
© ;
Verificar se a reta está contida no plano : b) e
33. Calcue os valores de e para que a reta esteja contida no plano