Seja o Plano , calcule: O valor de para que o plano seja paralelo a .
27. Determine a equação geral do plano que é perpendicular a reta
e que contenha o ponto A(-1,2,3).
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois planos: pi: 3x + y - z - 4 = 0 e pi1: kx - 4y + 4z - 7 = 0. Queremos encontrar o valor de k para que pi1 seja paralelo a pi. Para resolver isso, vamos precisar entender que dois planos são paralelos se os seus vetores normais forem proporcionais.
Passo 2
Primeiro, identificamos os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano da forma Ax + By + Cz + D = 0 é dado por (A, B, C). Então:
Para o plano pi, o vetor normal é n = (3, 1, -1).
Para o plano pi1, o vetor normal é n1 = (k, -4, 4).
Passo 3
Como os planos são paralelos, os vetores normais devem ser proporcionais. Isso significa que existe um escalar lambda tal que:
(k, -4, 4) = lambda (3, 1, -1)
Passo 4
Vamos igualar as componentes correspondentes:
k = 3lambda -4 = lambda 4 = -lambda
Analisando a segunda equação, temos lambda = -4. Substituindo na primeira:
k = 3 times (-4) = -12
Passo 5
Vamos analisar o que a questão solicita. Precisamos determinar a equação geral de um plano que seja perpendicular a uma reta dada e que contenha o ponto A(-1, 2, 3). Para isso, usaremos conceitos de geometria analítica sobre planos e retas.
Passo 6
Primeiro, identificamos a direção da reta r. A reta está parametrizada por:
r: x = 2t + 2 y = 1 - 3t z = 4t
O vetor diretor da reta é dado pelos coeficientes de t, ou seja, d = (2, -3, 4).
Passo 7
Para que o plano seja perpendicular à reta, o vetor diretor da reta deve ser perpendicular ao vetor normal do plano. Assim, o vetor normal do plano será paralelo ao vetor diretor da reta, ou seja, n = d = (2, -3, 4).
Passo 8
A equação geral do plano é dada por:
2(x - x0) - 3(y - y0) + 4(z - z0) = 0
Onde (x0, y0, z0) é o ponto que o plano contém, que é A(-1, 2, 3).
Passo 9
Substituindo as coordenadas de A na equação do plano: