Seja o Plano , calcule: O valor de para que o plano seja paralelo a .
27. Determine a equação geral do plano que é perpendicular a reta
e que contenha o ponto .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois planos: e . Queremos encontrar o valor de para que seja paralelo a . Para resolver isso, vamos precisar entender que dois planos são paralelos se os seus vetores normais forem proporcionais.
Passo 2
Primeiro, identificamos os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano da forma é dado por . Então:
Para o plano , o vetor normal é .
Para o plano , o vetor normal é .
Passo 3
Como os planos são paralelos, os vetores normais devem ser proporcionais. Isso significa que existe um escalar tal que:
Passo 4
Vamos igualar as componentes correspondentes:
Analisando a segunda equação, temos . Substituindo na primeira:
Passo 5
Vamos analisar o que a questão solicita. Precisamos determinar a equação geral de um plano que seja perpendicular a uma reta dada e que contenha o ponto . Para isso, usaremos conceitos de geometria analítica sobre planos e retas.
Passo 6
Primeiro, identificamos a direção da reta . A reta está parametrizada por:
O vetor diretor da reta é dado pelos coeficientes de , ou seja, .
Passo 7
Para que o plano seja perpendicular à reta, o vetor diretor da reta deve ser perpendicular ao vetor normal do plano. Assim, o vetor normal do plano será paralelo ao vetor diretor da reta, ou seja, .
Passo 8
A equação geral do plano é dada por:
Onde é o ponto que o plano contém, que é .
Passo 9
Substituindo as coordenadas de na equação do plano: