Seja o plano pi=3 x+y-z-4=0 Calcular
a) o ponto de pi que tem abscissa 1 e ordenada 3
b) o ponto de pi que tem abscissa O e cota 2 ;
c) o valor de k para que o ponto P(k, 2, k-1) pertença a pi;
d) o ponto de abscissa 2 e cuja ordenada é o dobro da cota;
e) o valor de k para que o plano pi 1=k x-4 y+4 z-7=0 seja paralelo a pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um plano definido pela equação pi = 3x + y - z - 4 = 0. Nosso objetivo é resolver várias questões relacionadas a esse plano. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional, como encontrar pontos específicos no plano e determinar condições de paralelismo entre planos. Vamos precisar manipular a equação do plano e entender como coordenadas de pontos se relacionam com essa equação.

Passo 2

a) Encontrar o ponto de pi com abscissa 1 e ordenada 3
Primeiro, vamos entender que “abscissa” corresponde à coordenada x e “ordenada” à coordenada y. Então, temos x = 1 e y = 3. Queremos achar o valor de z que satisfaz a equação do plano.
Vamos substituir esses valores na equação da pi:
3(1) + 3 - z - 4 = 0 3 + 3 - z - 4 = 0 2 - z = 0 z = 2
Então, o ponto é (1, 3, 2).

Passo 3

b) Encontrar o ponto de pi com abscissa 0 e cota 2
Aqui, “abscissa” é x = 0 e “cota” é a coordenada z = 2. Queremos encontrar y.
Substituindo na equação do plano:
3(0) + y - 2 - 4 = 0 y - 6 = 0 y = 6
Logo, o ponto é (0, 6, 2).

Passo 4

c) Determinar k para que o ponto P(k, 2, k-1) pertença a pi
Para que o ponto P esteja no plano pi, suas coordenadas devem satisfazer a equação do plano. Vamos substituir x = k, y = 2 e z = k - 1 na equação:
3k + 2 - (k - 1) - 4 = 0 3k + 2 - k + 1 - 4 = 0 2k - 1 = 0 2k = 1 k = 12
Então, k = 12.

Passo 5

d) Encontrar o ponto com abscissa 2 e cuja ordenada é o dobro da cota
Aqui, temos x = 2 e y = 2z. Queremos achar z.
Substituindo na equação do plano:
3(2) + 2z - z - 4 = 0 6 + z - 4 = 0 z + 2 = 0 z = -2
Então, y = 2(-2) = -4 e o ponto é (2, -4, -2).

Passo 6

e) Encontrar k para que o plano pi1 = kx - 4y + 4z - 7 = 0 seja paralelo a pi
Dois planos são paralelos se seus vetores normais forem múltiplos entre si. O vetor normal do plano pi é (3, 1, -1) e o vetor normal do plano pi1 é (k, -4, 4).
Para que sejam múltiplos, deve existir um escalar lambda tal que:
(k, -4, 4) = lambda (3, 1, -1)
Isso nos dá as equações:
  1. k = 3lambda
  2. -4 = lambda
  3. 4 = -lambda
Da segunda equação, lambda = -4. Substituindo na primeira:
k = 3(-4) = -12
Verificando com a terceira equação:
4 = -(-4) 4 = 4 (confere)
Então, k = -12.

Resposta

a) O ponto é (1, 3, 2).
b) O ponto é (0, 6, 2).
c) k = dfrac12.
d) O ponto é (2, -4, -2).
e) k = -12.

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