Seja o plano
Calcular
a) o ponto de
que tem abscissa 1 e ordenada 3
b) o ponto de
que tem abscissa
e cota 2 ;
c) o valor de k para que o ponto
pertença a
;
d) o ponto de abscissa 2 e cuja ordenada é o dobro da cota;
e) o valor de k para que o plano
seja paralelo a
.
a) o ponto de
b) o ponto de
c) o valor de k para que o ponto
d) o ponto de abscissa 2 e cuja ordenada é o dobro da cota;
e) o valor de k para que o plano
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um plano definido pela equação
. Nosso objetivo é resolver várias questões relacionadas a esse plano. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional, como encontrar pontos específicos no plano e determinar condições de paralelismo entre planos. Vamos precisar manipular a equação do plano e entender como coordenadas de pontos se relacionam com essa equação.
Passo 2
a) Encontrar o ponto de
com abscissa 1 e ordenada 3
Primeiro, vamos entender que “abscissa” corresponde à coordenada
e “ordenada” à coordenada
. Então, temos
e
. Queremos achar o valor de
que satisfaz a equação do plano.
Vamos substituir esses valores na equação da
:
Então, o ponto é
.
Passo 3
b) Encontrar o ponto de
com abscissa
e cota
Aqui, “abscissa” é
e “cota” é a coordenada
. Queremos encontrar
.
Substituindo na equação do plano:
Logo, o ponto é
.
Passo 4
c) Determinar
para que o ponto
pertença a
Para que o ponto
esteja no plano
, suas coordenadas devem satisfazer a equação do plano. Vamos substituir
,
e
na equação:
Então,
.
Passo 5
d) Encontrar o ponto com abscissa 2 e cuja ordenada é o dobro da cota
Aqui, temos
e
. Queremos achar
.
Substituindo na equação do plano:
Então,
e o ponto é
.
Passo 6
e) Encontrar
para que o plano
seja paralelo a
Dois planos são paralelos se seus vetores normais forem múltiplos entre si. O vetor normal do plano
é
e o vetor normal do plano
é
.
Para que sejam múltiplos, deve existir um escalar
tal que:
Isso nos dá as equações:
Da segunda equação,
. Substituindo na primeira:
Verificando com a terceira equação:
Então,
.
Resposta
a) O ponto é
.
b) O ponto é
.
c)
.
d) O ponto é
.
e)
.