Seja X=(x, y, z) um ponto do espryo tal que o angulo entre OX e o cixo Oz é theta=pi / 3. Mostre que (x, y, z) satisfaz uma equacảo polinomial de segundo grau nas wariáveis x, y e z: x^2+y^2-3 z^2=0

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um ponto x^2 + y^2 - 3 z^2 = 0 no espaço tridimensional, e sabemos que o ângulo entre o vetor que vai da origem até (chamado de ) e o eixo (representado por ) é . Nosso objetivo é mostrar que as coordenadas desse ponto satisfazem a equação polinomial de segundo grau:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, especificamente o cálculo do ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o ângulo cos(theta) = a cdot b|a| , |b| entre dois vetores e . A fórmula é:
onde é o produto escalar dos vetores e e são as magnitudes (ou normas) dos vetores.

Passo 3

No nosso caso, os vetores são OX cdot Oz = x cdot 0 + y cdot 0 + z cdot 1 = z e |OX| = raizx^2 + y^2 + z^2 e |Oz| = raiz0^2 + 0^2 + 1^2 = 1 . Vamos calcular o produto escalar deles:
Agora, vamos encontrar as magnitudes dos vetores:

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula do cosseno:
cos(pi3) = zraizx^2 + y^2 + z^2
Sabemos que 12 = zraizx^2 + y^2 + z^2 , então:

Passo 5

Vamos resolver essa equação para eliminar a raiz. Multiplicando ambos os lados por 12 raizx^2 + y^2 + z^2 = z :
raizx^2 + y^2 + z^2 = 2z
Agora, multiplicamos ambos os lados por 2:

Passo 6

Para eliminar a raiz, elevamos ambos os lados ao quadrado:
x^2 + y^2 + z^2 = (2z)^2
x^2 + y^2 + z^2 = 4z^2

Passo 7

Agora, vamos reorganizar os termos para obter a equação desejada:
x^2 + y^2 + z^2 - 4z^2 = 0
x^2 + y^2 - 3z^2 = 0

Resposta

Portanto, mostramos que as coordenadas x^2 + y^2 - 3z^2 = 0 do ponto satisfazem a equação polinomial de segundo grau:

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