Sejam V e W espaços vetoriais de dimensão finita e T: V W linear.
c) Prove que V é isomorfo a W se e somente se dim V=dim W.

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para provar que dois espaços vetoriais, e , são isomorfos se e somente se eles têm a mesma dimensão. Estamos na área de Álgebra Linear, especificamente trabalhando com isomorfismos entre espaços vetoriais. Para resolver isso, precisamos entender o que significa ser isomorfo e como a dimensão dos espaços está relacionada a isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um isomorfismo. Dois espaços vetoriais e são isomorfos se existe uma transformação linear que é bijetiva, ou seja, é injetora (não colapsa vetores diferentes em um só) e sobrejetora (cobre todo o espaço de chegada).

Passo 3

Agora, vamos falar sobre dimensão. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base desse espaço. Se e têm a mesma dimensão, isso significa que ambos têm bases com o mesmo número de vetores.

Passo 4

Vamos provar a “se” e a “só se”. Primeiro, assumimos que e são isomorfos. Como é um isomorfismo, ele mapeia uma base de em uma base de , preservando a linearidade. Portanto, .

Passo 5

Agora, mostramos a outra direção. Se , podemos construir uma base para e uma base para com o mesmo número de vetores. Definindo de forma que mapeie cada vetor da base de para o correspondente na base de , garantimos que seja linear, injetora e sobrejetora. Assim, é um isomorfismo.

Resposta

Portanto, é isomorfo a se e somente se .

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