Sejam
e
espaços vetoriais de dimensão finita e
linear.
c) Prove que
é isomorfo a
se e somente se
.
c) Prove que
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para provar que dois espaços vetoriais,
e
, são isomorfos se e somente se eles têm a mesma dimensão. Estamos na área de Álgebra Linear, especificamente trabalhando com isomorfismos entre espaços vetoriais. Para resolver isso, precisamos entender o que significa ser isomorfo e como a dimensão dos espaços está relacionada a isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um isomorfismo. Dois espaços vetoriais
e
são isomorfos se existe uma transformação linear
que é bijetiva, ou seja, é injetora (não colapsa vetores diferentes em um só) e sobrejetora (cobre todo o espaço de chegada).
Passo 3
Agora, vamos falar sobre dimensão. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base desse espaço. Se
e
têm a mesma dimensão, isso significa que ambos têm bases com o mesmo número de vetores.
Passo 4
Vamos provar a “se” e a “só se”. Primeiro, assumimos que
e
são isomorfos. Como
é um isomorfismo, ele mapeia uma base de
em uma base de
, preservando a linearidade. Portanto,
.
Passo 5
Agora, mostramos a outra direção. Se
, podemos construir uma base para
e uma base para
com o mesmo número de vetores. Definindo
de forma que mapeie cada vetor da base de
para o correspondente na base de
, garantimos que
seja linear, injetora e sobrejetora. Assim,
é um isomorfismo.
Resposta
Portanto,
é isomorfo a
se e somente se
.