Seja
, onde
são constantes. Mostre que
é ponto de mínimo local de q então
é ponto de mínimo global de q.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para mostrar que se o ponto
é um ponto de mínimo local da função
, então esse ponto também é um mínimo global. Estamos lidando com funções quadráticas de duas variáveis, que fazem parte do estudo de cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar analisar a natureza da função
e verificar as condições que garantem que um mínimo local seja, de fato, global.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um ponto ser um mínimo local. Um ponto
é um mínimo local de
se existe uma vizinhança ao redor desse ponto onde
. No nosso caso, sabemos que
é um mínimo local, então
próximo de
.
Passo 3
Para verificar se
é também um mínimo global, precisamos mostrar que
para todos os
no domínio da função. Vamos reescrever a função
:
Podemos reescrever isso em forma matricial para facilitar a análise:
Passo 4
Agora, vamos analisar a matriz associada a essa função quadrática:
Para que
seja um mínimo global, a matriz
deve ser definida positiva, o que significa que todos os seus autovalores são positivos. Isso garante que a função
seja convexa e, portanto, possui um único mínimo global.
Passo 5
Para verificar que
é definida positiva, examinamos seus determinantes principais:
- O primeiro determinante principal é
. Para ser positivo, precisamos de . - O determinante completo da matriz
é:
Para que
seja definida positiva, também precisamos que
. Ou seja:
Passo 6
Se ambas as condições
e
são satisfeitas, então a matriz
é definida positiva. Isso implica que a função quadrática
é convexa em todo o domínio, o que garante que qualquer mínimo local é, de fato, um mínimo global.
Resposta
Portanto, se
é um ponto de mínimo local de
, e as condições
e
são atendidas, então
é também um ponto de mínimo global de
.
Exercícios relacionados
observando a tabela de senos e cossenos, compute:
Mostre que se
e
são conjuntos, então
.
Em um triângulo com lados de tamanho
e
, vamos denotar por
e
os ângulos opostos respectivos.
Se um triângulo tem angulos e
e lado
, encontre o tamanho dos lados
e
.
Se um triângulo tem angulos