Seja , onde são constantes. Mostre que é ponto de mínimo local de q então é ponto de mínimo global de q.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para mostrar que se o ponto é um ponto de mínimo local da função , então esse ponto também é um mínimo global. Estamos lidando com funções quadráticas de duas variáveis, que fazem parte do estudo de cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar analisar a natureza da função e verificar as condições que garantem que um mínimo local seja, de fato, global.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um ponto ser um mínimo local. Um ponto é um mínimo local de se existe uma vizinhança ao redor desse ponto onde . No nosso caso, sabemos que é um mínimo local, então próximo de .

Passo 3

Para verificar se é também um mínimo global, precisamos mostrar que para todos os no domínio da função. Vamos reescrever a função :
Podemos reescrever isso em forma matricial para facilitar a análise:

Passo 4

Agora, vamos analisar a matriz associada a essa função quadrática:
Para que seja um mínimo global, a matriz deve ser definida positiva, o que significa que todos os seus autovalores são positivos. Isso garante que a função seja convexa e, portanto, possui um único mínimo global.

Passo 5

Para verificar que é definida positiva, examinamos seus determinantes principais:
  1. O primeiro determinante principal é . Para ser positivo, precisamos de .
  2. O determinante completo da matriz é:
Para que seja definida positiva, também precisamos que . Ou seja:

Passo 6

Se ambas as condições e são satisfeitas, então a matriz é definida positiva. Isso implica que a função quadrática é convexa em todo o domínio, o que garante que qualquer mínimo local é, de fato, um mínimo global.

Resposta

Portanto, se é um ponto de mínimo local de , e as condições e são atendidas, então é também um ponto de mínimo global de .

Exercícios relacionados

observando a tabela de senos e cossenos, compute:
Mostre que se e são conjuntos, então .
Em um triângulo com lados de tamanho e , vamos denotar por e os ângulos opostos respectivos.
Se um triângulo tem angulos e e lado , encontre o tamanho dos lados e .