Seja R a região limitada pela curva e pelas retas e .
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
c) da reta

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma região limitada pela curva , pela reta e pela reta . O objetivo é determinar o volume do sólido gerado quando essa região é rotacionada em torno da reta .
Para resolver esse problema, vamos usar o Método dos Discos/Anéis, que é uma técnica de cálculo usada para encontrar volumes de sólidos de revolução. Precisaremos entender como aplicar essa técnica em relação a um eixo de rotação que não passa pela origem.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região . A curva é uma função que cresce conforme aumenta. A reta é uma linha horizontal, e é o eixo y. Encontramos o ponto de interseção entre e resolvendo , o que dá . Então, a região está entre e .

Passo 3

Como vamos rotacionar a região em torno da reta , que é paralela ao eixo x, usaremos o Método dos Anéis. Esse método é apropriado quando o sólido de revolução tem um “buraco” no meio, formando um anel.
A fórmula geral para o volume usando o Método dos Anéis é:
onde:
  • é o raio externo,
  • é o raio interno,
  • e são os limites de integração.

Passo 4

Neste caso, nosso eixo de rotação é . Vamos expressar em função de a partir da curva :
O raio externo é a distância da reta até a reta :
Como a região está limitada pela reta (eixo y), o raio interno é zero.

Passo 5

Agora, definimos os limites de integração. A região varia de até . Portanto, e .
Substituindo na fórmula do volume:

Passo 6

Vamos expandir o integrando:
Então, o volume fica:

Passo 7

Agora, integremos termo a termo:
Onde é a constante de integração, que será eliminada ao calcular os limites.

Passo 8

Aplicando os limites de a :
Simplificando:

Passo 9

Calculando os valores:
Portanto:

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

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Seja R a região limitada pela reta e pela parábola . Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
f) da reta
(l)
Determine de maneira que:
b) a reta pelos pontos e tenha inclinação -3 ;
(2 pontos) Determinc o comprimento do gráfico de definida por .