Seja R a região limitada pela curva
e pelas retas
e
.
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
c) da reta
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
c) da reta
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma região
limitada pela curva
, pela reta
e pela reta
. O objetivo é determinar o volume do sólido gerado quando essa região é rotacionada em torno da reta
.
Para resolver esse problema, vamos usar o Método dos Discos/Anéis, que é uma técnica de cálculo usada para encontrar volumes de sólidos de revolução. Precisaremos entender como aplicar essa técnica em relação a um eixo de rotação que não passa pela origem.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar a região
. A curva
é uma função que cresce conforme
aumenta. A reta
é uma linha horizontal, e
é o eixo y. Encontramos o ponto de interseção entre
e
resolvendo
, o que dá
. Então, a região
está entre
e
.
Passo 3
Como vamos rotacionar a região em torno da reta
, que é paralela ao eixo x, usaremos o Método dos Anéis. Esse método é apropriado quando o sólido de revolução tem um “buraco” no meio, formando um anel.
A fórmula geral para o volume usando o Método dos Anéis é:
onde:
-
é o raio externo, -
é o raio interno, -
e são os limites de integração.
Passo 4
Neste caso, nosso eixo de rotação é
. Vamos expressar
em função de
a partir da curva
:
O raio externo
é a distância da reta
até a reta
:
Como a região está limitada pela reta
(eixo y), o raio interno
é zero.
Passo 5
Agora, definimos os limites de integração. A região varia de
até
. Portanto,
e
.
Substituindo na fórmula do volume:
Passo 6
Vamos expandir o integrando:
Então, o volume fica:
Passo 7
Agora, integremos termo a termo:
Onde
é a constante de integração, que será eliminada ao calcular os limites.
Passo 8
Aplicando os limites de
a
:
Simplificando:
Passo 9
Calculando os valores:
Portanto:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Seja R a região limitada pela reta
e pela parábola
. Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
f) da reta
f) da reta
(l)
Determine
de maneira que:
b) a reta pelos pontos e
tenha inclinação -3 ;
b) a reta pelos pontos
(2 pontos) Determinc o comprimento do gráfico de
definida por
.