Seja R a região limitada pela reta e pela parábola . Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
f) da reta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que resulta da rotação da região R, limitada pela reta e pela parábola , em torno da reta . Para isso, vamos usar o método dos cilindros (ou método das cascas), que é bem útil quando a rotação é em torno de uma linha vertical diferente do eixo das coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde as curvas e se encontram para saber os limites de integração. Igualando as duas equações:
Então, as interseções acontecem em e . Portanto, vamos integrar de 0 a 1.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método das cascas. Esse método envolve calcular cilindros finos (cascas) que, quando rotacionados, formam o sólido. A fórmula para o volume usando esse método é:
Aqui:
  • Raio: A distância do ponto à reta , que é .
  • Altura: A diferença entre as funções e , que é .

Passo 4

Vamos montar a integral agora:
Primeiro, vamos expandir os termos dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
Calculando cada integral:
Então, substituindo:

Passo 6

Agora, vamos avaliar a integral nos limites de 0 a 1:
Para :
Para :
Então, a diferença é .

Resposta

O volume do sólido de revolução é:
Ou seja, unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

(l)
Determine os quatro menores números positivos tais que:
b)
Seja R a região limitada pela curva e pelas retas e .
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
c) da reta
Determine de maneira que:
b) a reta pelos pontos e tenha inclinação -3 ;