Seja R a região limitada pela reta
e pela parábola
. Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
f) da reta
f) da reta
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que resulta da rotação da região R, limitada pela reta
e pela parábola
, em torno da reta
. Para isso, vamos usar o método dos cilindros (ou método das cascas), que é bem útil quando a rotação é em torno de uma linha vertical diferente do eixo das coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos onde as curvas
e
se encontram para saber os limites de integração. Igualando as duas equações:
Então, as interseções acontecem em
e
. Portanto, vamos integrar de 0 a 1.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método das cascas. Esse método envolve calcular cilindros finos (cascas) que, quando rotacionados, formam o sólido. A fórmula para o volume usando esse método é:
Aqui:
- Raio: A distância do ponto
à reta , que é . - Altura: A diferença entre as funções
e , que é .
Passo 4
Vamos montar a integral agora:
Primeiro, vamos expandir os termos dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar termo a termo:
Calculando cada integral:
Então, substituindo:
Passo 6
Agora, vamos avaliar a integral nos limites de 0 a 1:
Para
:
Para
:
Então, a diferença é
.
Resposta
O volume do sólido de revolução é:
Ou seja,
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
(l)
Determine os quatro menores números positivos
tais que:
b)
b)
Seja R a região limitada pela curva
e pelas retas
e
.
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
c) da reta
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
c) da reta
Determine
de maneira que:
b) a reta pelos pontos e
tenha inclinação -3 ;
b) a reta pelos pontos