Seja R a região limitada pela curva
e pelas retas
e
.
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
b) do eixo
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
b) do eixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido que surge quando a região
, delimitada pela curva
, pela reta
e pela reta
, é girada em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método dos cilindros, que é uma técnica de cálculo integral em Cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são os limites de integração. Sabemos que
varia de
(quando
) até
. Como estamos girando em torno do eixo
, usaremos a variável
como variável de integração.
Passo 3
Vamos expressar
em função de
. Dada a equação
, podemos resolver para
:
Passo 4
O método dos cilindros exige que calculamos a área da superfície lateral de cada cilindro. A fórmula geral para o volume usando esse método é:
onde
é a distância do elemento infinitesimal ao eixo de rotação, e
é a altura do cilindro.
Passo 5
No nosso caso,
e a altura
é constante para cada
porque a região está limitada pelo eixo
. Então, a fórmula fica:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral. Primeiro, reescrevemos
como
:
A integral de
é:
Passo 7
Aplicando os limites de integração de 0 a 8:
Sabemos que
, então:
Passo 8
Substituindo de volta:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico das seguintes funções
:
c)
c)
Estude os sinais das seguintes funções definidas em
:
b)
b)
Seja R a região limitada pela reta
e pela parábola
. Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
d) da reta
d) da reta
Seja R a região limitada pela curva
e pelas retas
e
.
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
f) da reta
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
f) da reta