Seja R a região limitada pela curva e pelas retas e .
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
b) do eixo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido que surge quando a região , delimitada pela curva , pela reta e pela reta , é girada em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método dos cilindros, que é uma técnica de cálculo integral em Cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são os limites de integração. Sabemos que varia de (quando ) até . Como estamos girando em torno do eixo , usaremos a variável como variável de integração.

Passo 3

Vamos expressar em função de . Dada a equação , podemos resolver para :

Passo 4

O método dos cilindros exige que calculamos a área da superfície lateral de cada cilindro. A fórmula geral para o volume usando esse método é:
onde é a distância do elemento infinitesimal ao eixo de rotação, e é a altura do cilindro.

Passo 5

No nosso caso, e a altura é constante para cada porque a região está limitada pelo eixo . Então, a fórmula fica:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral. Primeiro, reescrevemos como :
A integral de é:

Passo 7

Aplicando os limites de integração de 0 a 8:
Sabemos que , então:

Passo 8

Substituindo de volta:

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico das seguintes funções :
c)
Estude os sinais das seguintes funções definidas em :
b)
Seja R a região limitada pela reta e pela parábola . Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
d) da reta
Seja R a região limitada pela curva e pelas retas e .
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
f) da reta