Seja R a região limitada pela reta
e pela parábola
. Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
d) da reta
d) da reta
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma região R limitada pela reta
e pela parábola
. Nosso objetivo é descobrir o volume do sólido que essa região forma quando a gente gira ela em torno da reta
. Para isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde a reta
e a parábola
se encontram. Igualando as duas equações:
Resolvendo essa equação, subtraímos
de ambos os lados:
Então, as interseções são em
e
. Isso significa que vamos integrar de 0 a 1.
Passo 3
Agora, vamos pensar no método dos anéis. Como estamos girando em torno da reta
, precisamos calcular o raio externo e o raio interno para cada fatia vertical da região.
O raio externo
é a distância da reta
até a reta
:
O raio interno
é a distância da reta
até a parábola
:
Passo 4
Com os raios definidos, a fórmula para o volume
usando o método dos anéis é:
Aqui,
e
. Então, substituindo os valores:
Passo 5
Vamos expandir os termos dentro da integral para facilitar o cálculo:
Subtraindo essas expressões:
Passo 6
Agora, nossa integral fica assim:
Vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 7
Aplicando os limites de integração de 0 a 1:
Simplificando:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Seja R a região limitada pela curva
e pelas retas
e
.
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
b) do eixo
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
b) do eixo
Esboce o gráfico das seguintes funções
:
c)
c)
Seja R a região limitada pela curva
e pelas retas
e
.
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
f) da reta
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
f) da reta
Seja R a região limitada pela reta
e pela parábola
. Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
e) da reta
e) da reta