Seja R a região limitada pela reta e pela parábola . Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
d) da reta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma região R limitada pela reta e pela parábola . Nosso objetivo é descobrir o volume do sólido que essa região forma quando a gente gira ela em torno da reta . Para isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde a reta e a parábola se encontram. Igualando as duas equações:
Resolvendo essa equação, subtraímos de ambos os lados:
Então, as interseções são em e . Isso significa que vamos integrar de 0 a 1.

Passo 3

Agora, vamos pensar no método dos anéis. Como estamos girando em torno da reta , precisamos calcular o raio externo e o raio interno para cada fatia vertical da região.
O raio externo é a distância da reta até a reta :
O raio interno é a distância da reta até a parábola :

Passo 4

Com os raios definidos, a fórmula para o volume usando o método dos anéis é:
Aqui, e . Então, substituindo os valores:

Passo 5

Vamos expandir os termos dentro da integral para facilitar o cálculo:
Subtraindo essas expressões:

Passo 6

Agora, nossa integral fica assim:
Vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 7

Aplicando os limites de integração de 0 a 1:
Simplificando:

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Seja R a região limitada pela curva e pelas retas e .
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
b) do eixo
Esboce o gráfico das seguintes funções :
c)
Seja R a região limitada pela curva e pelas retas e .
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
f) da reta
Seja R a região limitada pela reta e pela parábola . Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
e) da reta