Seja R a região limitada pela curva e pelas retas e .
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
a) Do eixo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre encontrar o volume de um sólido que resulta da rotação da região R em torno do eixo x. A região R está limitada pela curva , pela reta e pela reta . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica da integral que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos visualizar a região que vamos girar. A curva intersecta a reta quando , ou seja, . Então, nossos limites de integração vão de a . Como vamos girar em torno do eixo x, usamos a fórmula do método dos discos:
Aqui, .

Passo 3

Vamos substituir na fórmula:
Agora, vamos calcular essa integral:
Avaliar de 0 a 2:
Então, o volume é:

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

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Sabendo que e , determine:
b)
Utilizando a transformada de Laplace, determine a solução do problema dado. Verifique sua resposta por substituição na equação. (Suponha .) e
Utilizando a transformada de Laplace, determine a solução do problema dado. Verifique sua resposta por substituição na equação. (Suponha .)
Utilizando a transformada de Laplace, determine a solução do problema dado. Verifique sua resposta por substituição na equação. (Suponha .)