Utilizando a transformada de Laplace, determine a solução do problema dado. Verifique sua resposta por substituição na equação. (Suponha .) e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando a Transformada de Laplace. O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do segundo grau: , com as condições iniciais e . Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação. Para isso, vamos precisar aplicar propriedades da Transformada de Laplace e conhecer algumas regras básicas de derivadas nessa transformada.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
E
Aplicando na nossa equação:
Substituindo as transformadas:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a equação resultante:
Fatorando do lado esquerdo:
Para isolar , dividimos ambos os lados por :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a Transformada de Laplace inversa de para obter . Para isso, vamos decompor a fração usando frações parciais.
Vamos escrever:
Multiplicando ambos os lados por :
Expandindo:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda:

Passo 5

Agora, substituímos os valores de e na decomposição das frações parciais:
Aplicando a Transformada de Laplace inversa:

Resposta

A solução do problema é:

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b)
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e)
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b)
Seja R a região limitada pela curva e pelas retas e .
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
a) Do eixo