Utilizando a transformada de Laplace, determine a solução do problema dado. Verifique sua resposta por substituição na equação. (Suponha
.)
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando a Transformada de Laplace. O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do segundo grau: , com as condições iniciais
e
. Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação. Para isso, vamos precisar aplicar propriedades da Transformada de Laplace e conhecer algumas regras básicas de derivadas nessa transformada.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
E
Aplicando na nossa equação:
Substituindo as transformadas:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a equação resultante:
Fatorando
do lado esquerdo:
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a Transformada de Laplace inversa de
para obter
. Para isso, vamos decompor a fração usando frações parciais.
Vamos escrever:
Multiplicando ambos os lados por
:
Expandindo:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Passo 5
Agora, substituímos os valores de
e
na decomposição das frações parciais:
Aplicando a Transformada de Laplace inversa:
Resposta
A solução do problema é: