Seja R a região limitada pela reta
e pela parábola
. Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
c) da reta
c) da reta
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrarmos o volume de um sólido que é formado ao girar a região R, delimitada pela reta
e pela parábola
, em torno da reta
. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução. Precisamos entender onde as curvas se encontram e configurar a integral correta para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas
e
. Isso nos dirá os limites de integração.
Então, as curvas se encontram nos pontos
e
.
Passo 3
Agora, vamos visualizar a região R entre
e
, onde
está acima de
. Ao girar essa região em torno da reta
, cada pequeno segmento vertical vai formar um anel (anel de revolução).
Passo 4
Para usar o método dos anéis, precisamos calcular a área de cada anel e depois integrar essa área ao longo do intervalo de
a
. A área de um anel é dada por:
Aqui,
é a distância da curva acima (
) até a reta
, e
é a distância da curva abaixo (
) até a reta
.
Passo 5
Vamos calcular
e
:
Passo 6
Substituindo esses valores na fórmula da área do anel:
Passo 7
Agora, expandimos os termos dentro dos parênteses:
Subtraindo essas duas expressões:
Passo 8
Portanto, a área do anel fica:
Passo 9
Para encontrar o volume total, integramos essa área de
a
:
Passo 10
Vamos calcular essa integral:
Substituindo
e
:
Passo 11
Agora, vamos simplificar a expressão dentro dos parênteses:
Como o volume não pode ser negativo, devemos considerar o valor absoluto:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Sem o auxílio de calculadora ou computador, determine:
a)
a)
(i)
Determine os quatro menores números positivos
tais que:
b)
b)
(l)