Seja R a região limitada pela reta e pela parábola . Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
c) da reta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrarmos o volume de um sólido que é formado ao girar a região R, delimitada pela reta e pela parábola , em torno da reta . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução. Precisamos entender onde as curvas se encontram e configurar a integral correta para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas e . Isso nos dirá os limites de integração.
Então, as curvas se encontram nos pontos e .

Passo 3

Agora, vamos visualizar a região R entre e , onde está acima de . Ao girar essa região em torno da reta , cada pequeno segmento vertical vai formar um anel (anel de revolução).

Passo 4

Para usar o método dos anéis, precisamos calcular a área de cada anel e depois integrar essa área ao longo do intervalo de a . A área de um anel é dada por:
Á
Aqui, é a distância da curva acima ( ) até a reta , e é a distância da curva abaixo ( ) até a reta .

Passo 5

Vamos calcular e :

Passo 6

Substituindo esses valores na fórmula da área do anel:
Á

Passo 7

Agora, expandimos os termos dentro dos parênteses:
Subtraindo essas duas expressões:

Passo 8

Portanto, a área do anel fica:
Á

Passo 9

Para encontrar o volume total, integramos essa área de a :

Passo 10

Vamos calcular essa integral:
Substituindo e :

Passo 11

Agora, vamos simplificar a expressão dentro dos parênteses:
Como o volume não pode ser negativo, devemos considerar o valor absoluto:

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

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Sem o auxílio de calculadora ou computador, determine:
a)
(i)
Determine os quatro menores números positivos tais que:
b)
(l)