Transforme as seguintes integrais para coordenadas polares e calcule-as
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é
onde a região
está no primeiro quadrante (
) e entre as circunferências de raio 1 e 2 (
). A gente vai precisar usar coordenadas polares para facilitar essa integração, já que a região é circular. Em coordenadas polares, a gente transforma
e
em termos de
e
, e também ajusta o diferencial de área.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são as transformações para coordenadas polares:
E o diferencial de área
vira
em coordenadas polares. Essa troca é importante porque simplifica a integração em regiões circulares.
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites para
e
na nossa região
. Como estamos no primeiro quadrante,
vai de
a
(90 graus). Para o raio
, como a região está entre as circunferências de raio 1 e 2,
varia de 1 a 2. Então, temos:
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original pelas expressões em coordenadas polares:
E o diferencial:
Então, a integral fica:
Simplificando:
Passo 5
Vamos separar a integral em duas partes, uma em
e outra em
, já que são variáveis independentes:
Primeiro, resolvemos a integral em
:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral em
:
Podemos usar uma substituição simples: seja
, então
. A integral fica:
Passo 7
Agora, multiplicamos os resultados das duas integrais:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Nos exercícios de 1 a 36 diferencie cada função
Seja
a região do plano limitado pelas curvas
e
.
Esboce e calcule a sua área.
Esboce
Seja
a região do plano limitado pelas curvas
e
.
Calcule o centróide de .
Calcule o centróide de
Nos exercícios de 1 a 36 diferencie cada função