Transforme as seguintes integrais para coordenadas polares e calcule-as
integral duplaR x y d x d y ; R=x >= 0, y >= 0,1 <= x^2+y^2 <= 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é onde a região está no primeiro quadrante ( ) e entre as circunferências de raio 1 e 2 ( ). A gente vai precisar usar coordenadas polares para facilitar essa integração, já que a região é circular. Em coordenadas polares, a gente transforma e em termos de e , e também ajusta o diferencial de área.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as transformações para coordenadas polares:
x = r costheta y = r sintheta
E o diferencial de área vira em coordenadas polares. Essa troca é importante porque simplifica a integração em regiões circulares.

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites para 0 <= theta <= pi2 1 <= r <= 2 e na nossa região . Como estamos no primeiro quadrante, vai de a (90 graus). Para o raio , como a região está entre as circunferências de raio 1 e 2, varia de 1 a 2. Então, temos:

Passo 4

Vamos substituir x y = (r costheta)(r sintheta) = r^2 costheta sintheta e dx , dy = r , dr , dtheta na integral original pelas expressões em coordenadas polares:
integral duplaR x y , dx , dy = integral0^pi2 integral1^2 r^2 costheta sintheta cdot r , dr , dtheta
E o diferencial:
integral0^pi2 integral1^2 r^3 costheta sintheta , dr , dtheta
Então, a integral fica:
Simplificando:

Passo 5

Vamos separar a integral em duas partes, uma em integral0^pi2 costheta sintheta , dtheta cdot integral1^2 r^3 , dr e outra em integral1^2 r^3 , dr = [ r^44 ]1^2 = 2^44 - 1^44 = 164 - 14 = 154 , já que são variáveis independentes:
Primeiro, resolvemos a integral em :

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral em integral0^pi2 costheta sintheta , dtheta :
integral0^1 u , du = [ u^22 ]0^1 = 12 - 0 = 12
Podemos usar uma substituição simples: seja , então . A integral fica:

Passo 7

Agora, multiplicamos os resultados das duas integrais:
154 cdot 12 = 158

Resposta

O valor da integral dupla é .

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