Transforme as seguintes integrais para coordenadas polares e calcule-as

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é onde a região está no primeiro quadrante ( ) e entre as circunferências de raio 1 e 2 ( ). A gente vai precisar usar coordenadas polares para facilitar essa integração, já que a região é circular. Em coordenadas polares, a gente transforma e em termos de e , e também ajusta o diferencial de área.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as transformações para coordenadas polares:
E o diferencial de área vira em coordenadas polares. Essa troca é importante porque simplifica a integração em regiões circulares.

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites para e na nossa região . Como estamos no primeiro quadrante, vai de a (90 graus). Para o raio , como a região está entre as circunferências de raio 1 e 2, varia de 1 a 2. Então, temos:

Passo 4

Vamos substituir e na integral original pelas expressões em coordenadas polares:
E o diferencial:
Então, a integral fica:
Simplificando:

Passo 5

Vamos separar a integral em duas partes, uma em e outra em , já que são variáveis independentes:
Primeiro, resolvemos a integral em :

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral em :
Podemos usar uma substituição simples: seja , então . A integral fica:

Passo 7

Agora, multiplicamos os resultados das duas integrais:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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