Seja R a reta que contém os pontos A(3,2) e B(5,5). Faça: b) determine a distância entre o ponto P(2,4) e a reta R ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a distância entre o ponto e a reta que passa pelos pontos e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula de distância de um ponto a uma reta. Vamos precisar primeiro encontrar a equação da reta .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a inclinação (coeficiente angular) da reta m = yB - yAxB - xA = 5 - 25 - 3 = 32 . A inclinação é dada por:
Então, a inclinação da reta é .

Passo 3

Com a inclinação y - yA = m(x - xA) conhecida, podemos usar a fórmula da equação da reta que passa pelo ponto y - 2 = 32(x - 3) :
y = 32x - 92 + 2 Rightarrow y = 32x - 52
Substituindo os valores:
Simplificando:
Então, a equação da reta é .

Passo 4

Agora que temos a equação da reta na forma 32x - y - 52 = 0 , vamos reorganizar:
3x - 2y - 5 = 0
Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar os denominadores:
Então, os coeficientes são , e .

Passo 5

Para encontrar a distância D = |A xP + B yP + C|raizA^2 + B^2 do ponto D = |3(2) - 2(4) - 5|raiz3^2 + (-2)^2 = |6 - 8 - 5|raiz9 + 4 = |-7|raiz13 = 7raiz13 até a reta D = 7raiz1313 , usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Racionalizando o denominador:

Resposta

A distância entre o ponto e a reta é unidades.

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