Teste para ser espaço vetorial Nos exercícios 13-36, determine se o conjunto, juntamente com as operações usuais, é um espaço vetorial. Se não o for, identifique pelo menos um dos dez axiomas de espaço vetorial que não é válido.
O conjunto de todas as funções polinomiais de primeiro grau , cujos gráficos passam pela origem
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se o conjunto de todas as funções polinomiais de primeiro grau da forma , onde , que passam pela origem, forma um espaço vetorial com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e quais são os axiomas que ele precisa cumprir.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de elementos (neste caso, funções) que, com duas operações — adição e multiplicação por escalar — satisfazem dez propriedades conhecidas como axiomas vetoriais. Essas propriedades garantem que o conjunto se comporte de maneira consistente com as noções de vetores que conhecemos, como no espaço .
Passo 3
Vamos começar verificando o primeiro axioma: a existência do vetor zero. No contexto de funções, o vetor zero seria a função que sempre dá zero, ou seja, . Para que nosso conjunto seja um espaço vetorial, essa função precisa estar incluída no conjunto.
Passo 4
Olha só, nosso conjunto é formado por funções da forma onde . A função zero seria , mas aqui não pode ser zero. Então, a função zero não está no nosso conjunto. Isso já é um problema porque todo espaço vetorial precisa ter o vetor zero.
Passo 5
Como a função zero não está presente no conjunto, já podemos concluir que ele não satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial. Especificamente, falha no axioma da existência do vetor zero.
Passo 6
Além disso, mesmo que a gente tente verificar outros axiomas, já sabemos que a falta do vetor zero impede que o conjunto seja um espaço vetorial. Não precisamos conferir todos os outros para saber que ele não é um espaço vetorial.
Resposta
Não, o conjunto de todas as funções polinomiais de primeiro grau , com , que passam pela origem, não é um espaço vetorial. Isso porque ele não contém a função zero, violando o axioma que exige a existência do vetor zero no espaço vetorial.