O que significa a palavra analítica no contexto de variáveis complexas?

Passo 1

Beleza, a pergunta é: O que significa a palavra “analítica” no contexto de variáveis complexas? Vamos usar o conteúdo de funções de variáveis complexas e precisamos entender o que é uma função analítica para responder essa questão.

Passo 2

Primeiro, uma função de variável complexa é chamada de analítica se ela for diferenciável em um domínio aberto no plano complexo. Mas o que isso significa? Diferenciável aqui quer dizer que o limite
existe e é o mesmo de todas as direções pelas quais se aproxima de zero. Isso é parecido com derivadas em cálculo, mas no contexto complexo, é meio mais “restritivo”.

Passo 3

Além disso, funções analíticas têm umas propriedades bem bacanas:
  • Derivadas de todas as ordens: Você pode derivar a função várias vezes e sempre vai ter um resultado legal.
  • Representação por séries de potências: Dentro do domínio onde a função é analítica, ela pode ser escrita como uma série de Taylor, tipo
Isso facilita muito pra trabalhar com elas, porque você pode aproximar a função por polinômios.

Passo 4

Um ponto super importante é que, no mundo das variáveis complexas, se uma função é diferenciável em um ponto, ela não é só diferenciável naquele ponto, mas em uma região inteira ao redor dele. Isso não acontece no caso das funções de variável real.

Resposta

No contexto de variáveis complexas, “analítica” significa que uma função é diferenciável em um domínio aberto do plano complexo, possui derivadas de todas as ordens e pode ser representada por séries de potências dentro desse domínio.

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Seja . Usando a convenção do que , escreva em forma exponencial, , e assim calcule , escrevendo o resultado final em forma cartesiana. (1,0)
Determine o domínio das seguintes funções:
(d)
Determine uma equação da reta que satisfaça as condições dadas a seguir:
(a) Passa pelo pontos e
Resolva as seguintes inequações
(b)