Seja D uma região delimitada por uma curva C fechada, simples, lisa por partes, no plano x y. Definimos o centróide de D como o ponto (barx, bary) in D dado por
barx=1A integral duplaD x d A, bary=1A integral duplaD y d A
em que A é a área da região D.
Utilize o Teorema de Green para mostrar que as coordenadas do centróide (barx, bary) de D são
barx=12 A ointC F1 d r, bary=-12 A ointC F2 d r
em que F1(x, y)=x^2 j e F2(x, y)=y^2 i.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as coordenadas do centróide de uma região delimitada por uma curva no plano . A gente vai usar o Teorema de Green, que faz parte do cálculo vetorial, para transformar integrais duplas sobre a região em integrais de linha ao longo da curva . Precisamos mostrar que as coordenadas do centróide podem ser expressas usando os campos vetoriais e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o centróide. O centróide de uma região barx = 1A integral duplaD x , dA, bary = 1A integral duplaD y , dA é o ponto que representa o “centro de massa” se a região tivesse densidade uniforme. As coordenadas do centróide são dadas por:
Aqui, é a área da região .

Passo 3

Agora, vamos lembrar do Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral dupla sobre uma região integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA = ointC (P , dx + Q , dy) com uma integral de linha ao longo da fronteira de . Em termos gerais, se temos funções e , o Teorema de Green diz:
Isso nos permite transformar integrais duplas em integrais de linha, o que facilita os cálculos quando temos a curva bem definida.

Passo 4

Vamos aplicar o Teorema de Green às expressões para barx = 1A integral duplaD x , dA e partial Qpartial x = partialpartial x ( x^22 ) = x .
Para integral duplaD x , dA = ointC x^22 , dy :
barx = 1A cdot 12 ointC x^2 , dy = 12A ointC F1 , dr
Podemos escolher bary = 1A integral duplaD y , dA e partial Qpartial x - partial Ppartial y = 0 - ( -y ) = y . Assim,
integral duplaD y , dA = ointC ( -y^22 ) , dx
Aplicando o Teorema de Green:
bary = 1A cdot ( -12 ointC y^2 , dx ) = -12A ointC F2 , dr
Portanto,
onde .
Para :
Aqui, escolhemos e . Assim,
Aplicando o Teorema de Green:
Portanto,
onde .

Resposta

Portanto, as coordenadas do centróide barx = 12 A ointC F1 , dr, bary = -12 A ointC F2 , dr da região são:
onde e .

Exercícios relacionados

Sejam D uma região plana do tipo I ou do tipo II e C=partial D. Seja A a área de D. Use o Teorema de Green para mostrar que:
A=ointC x d y=-ointC y d x=12 ointC x d y-y d x
Utilize o Teorema de Green para determinar a área da região
D = {(x, y) ∈ R² | x²/4 + y²/16 ≤ 1, x ≥ 0}
Utilizando as regras de derivação, encontre a derivada de cada um das funções abaixo.
f(x) = 3 sen(x) + 10 cos(x)
Utilizando as regras de derivação, encontre a derivada de cada um das funções abaixo.
f(x) = 4 sec(x) - 2 csc(x)