Seja
uma região delimitada por uma curva
fechada, simples, lisa por partes, no plano
. Definimos o centróide de
como o ponto
dado por
em que
é a área da região
.
Utilize o Teorema de Green para mostrar que as coordenadas do centróide
de
são
em que
e
.
Utilize o Teorema de Green para mostrar que as coordenadas do centróide
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as coordenadas do centróide de uma região
delimitada por uma curva
no plano
. A gente vai usar o Teorema de Green, que faz parte do cálculo vetorial, para transformar integrais duplas sobre a região
em integrais de linha ao longo da curva
. Precisamos mostrar que as coordenadas
do centróide podem ser expressas usando os campos vetoriais
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o centróide. O centróide de uma região
é o ponto que representa o “centro de massa” se a região tivesse densidade uniforme. As coordenadas do centróide são dadas por:
Aqui,
é a área da região
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar do Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral dupla sobre uma região
com uma integral de linha ao longo da fronteira
de
. Em termos gerais, se temos funções
e
, o Teorema de Green diz:
Isso nos permite transformar integrais duplas em integrais de linha, o que facilita os cálculos quando temos a curva
bem definida.
Passo 4
Vamos aplicar o Teorema de Green às expressões para
e
.
Para
:
Podemos escolher
e
. Assim,
Aplicando o Teorema de Green:
Portanto,
onde
.
Para
:
Aqui, escolhemos
e
. Assim,
Aplicando o Teorema de Green:
Portanto,
onde
.
Resposta
Portanto, as coordenadas do centróide
da região
são:
onde
e
.
Exercícios relacionados
Sejam
uma região plana do tipo I ou do tipo II e
. Seja
a área de
. Use o Teorema de Green para mostrar que:
Utilize o Teorema de Green para determinar a área da região
Utilizando as regras de derivação, encontre a derivada de cada um das funções abaixo.
Utilizando as regras de derivação, encontre a derivada de cada um das funções abaixo.