Seja a região do plano limitado pelas curvas e .
Esboce e calcule a sua área.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que esboçar a região que está entre as curvas e e depois calcular a área dessa região. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de gráficos de funções quadráticas e cálculo de integrais para encontrar a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde as duas curvas se encontram. Isso quer dizer, vamos achar os valores de onde é igual a .
Então, igualamos as duas equações:
Vamos resolver isso:
Então, as curvas se interceptam nos pontos e .

Passo 3

Agora, vamos esboçar as duas curvas para visualizar a região .
  • A curva é uma parábola que abre para cima, com vértice na origem .
  • A curva também é uma parábola, mas ela abre para baixo e está deslocada 2 unidades para cima, com vértice em .
Quando a gente desenha essas duas parábolas, percebe que elas se cruzam nos pontos e , criando uma região fechada entre elas.

Passo 4

Para calcular a área da região , vamos usar a fórmula da integral definida que calcula a área entre duas curvas. A fórmula é:
Á
Aqui, é a função que está por cima na região considerada, e é a que está por baixo. No nosso caso, entre e , a curva está acima de .

Passo 5

Vamos montar a integral para a área:
Á

Passo 6

Agora, vamos calcular essa integral. Primeiro, encontramos a antiderivada de :
Mas como vamos calcular a área definida entre e , não precisamos do . Avaliamos a antiderivada nos limites:
Á

Passo 7

Vamos substituir os valores de :
Para :
Para :
Agora, subtraímos:
Á

Resposta

A área da região é unidades de área.

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