Seja
a região do plano limitado pelas curvas
e
.
Esboce
e calcule a sua área.
Esboce
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que esboçar a região
que está entre as curvas
e
e depois calcular a área dessa região. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de gráficos de funções quadráticas e cálculo de integrais para encontrar a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde as duas curvas se encontram. Isso quer dizer, vamos achar os valores de
onde
é igual a
.
Então, igualamos as duas equações:
Vamos resolver isso:
Então, as curvas se interceptam nos pontos
e
.
Passo 3
Agora, vamos esboçar as duas curvas para visualizar a região
.
- A curva
é uma parábola que abre para cima, com vértice na origem . - A curva
também é uma parábola, mas ela abre para baixo e está deslocada 2 unidades para cima, com vértice em .
Quando a gente desenha essas duas parábolas, percebe que elas se cruzam nos pontos
e
, criando uma região fechada entre elas.
Passo 4
Para calcular a área da região
, vamos usar a fórmula da integral definida que calcula a área entre duas curvas. A fórmula é:
Aqui,
é a função que está por cima na região considerada, e
é a que está por baixo. No nosso caso, entre
e
, a curva
está acima de
.
Passo 5
Vamos montar a integral para a área:
Passo 6
Agora, vamos calcular essa integral. Primeiro, encontramos a antiderivada de
:
Mas como vamos calcular a área definida entre
e
, não precisamos do
. Avaliamos a antiderivada nos limites:
Passo 7
Vamos substituir os valores de
:
Para
:
Para
:
Agora, subtraímos:
Resposta
A área da região
é
unidades de área.
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