Seja o retângulo
. Calcule
, sendo:
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para calcular a integral dupla sobre o retângulo
da função
. Basicamente, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais duplas, e vamos precisar usar técnicas de integração para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular uma integral dupla. Imagine que temos uma superfície representada pela função
sobre a região
. A integral dupla nos dá o volume sob essa superfície e acima da região
.
Passo 3
Vamos configurar a integral dupla. A região
é um retângulo onde
varia de 1 a 2 e
varia de 0 a 1. Então, podemos escrever a integral dupla assim:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, ou seja, integrar em relação a
. A integral de
em relação a
é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Aplicando os limites de integração para
de 0 a 1:
Então, agora nossa integral dupla se reduz a:
Passo 6
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a
. Podemos separar essa integral em duas partes:
Sabemos que a integral de
em relação a
é:
Passo 7
Aplicando essa regra para cada parte:
Para
:
Para
:
Passo 8
Agora, avaliamos cada parte entre os limites de 1 a 2.
Primeira parte:
Segunda parte:
Passo 9
Subtraindo a segunda parte da primeira:
Simplificando:
Resposta
Exercícios relacionados
Determine a derivada:
.
Derive:
.
Calcule a integral iterada.
Usando todas as regras de derivação, derive as seguintes funçõs: