Seja o retângulo . Calcule , sendo: .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para calcular a integral dupla sobre o retângulo da função . Basicamente, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais duplas, e vamos precisar usar técnicas de integração para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular uma integral dupla. Imagine que temos uma superfície representada pela função sobre a região . A integral dupla nos dá o volume sob essa superfície e acima da região .

Passo 3

Vamos configurar a integral dupla. A região é um retângulo onde varia de 1 a 2 e varia de 0 a 1. Então, podemos escrever a integral dupla assim:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, ou seja, integrar em relação a . A integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Aplicando os limites de integração para de 0 a 1:
Então, agora nossa integral dupla se reduz a:

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a . Podemos separar essa integral em duas partes:
Sabemos que a integral de em relação a é:

Passo 7

Aplicando essa regra para cada parte:
Para :
Para :

Passo 8

Agora, avaliamos cada parte entre os limites de 1 a 2.
Primeira parte:
Segunda parte:

Passo 9

Subtraindo a segunda parte da primeira:
Simplificando:

Resposta

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Determine a derivada:
.
Derive:
.
Calcule a integral iterada.
Usando todas as regras de derivação, derive as seguintes funçõs: