$(Vale 3,0 pontos) Sabendo que (Va<= 3,0 pontos) Sabendo que é uma transformação linear definida por é uma transformação linear definida por .
a) (Vale I,0 ponto) Determine uma base do a) (Va<= I,0 ponto) Determine uma base do .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar uma base do núcleo (kernel) da transformação linear definida por . Aqui, estamos trabalhando com conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre transformações lineares e seus núcleos. Para isso, vamos precisar encontrar todos os vetores que satisfazem a equação .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a condição para que um vetor pertença ao núcleo de T(x, y, z) = (x - y, y + z, 2x - y + z, x + z) = (0, 0, 0, 0) . Isso significa que aplicando no vetor deve resultar no vetor zero em :

Passo 3

Agora, vamos transformar isso em um sistema de equações:
x - y = 0 y + z = 0 2x - y + z = 0 x + z = 0

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. A primeira equação nos dá:
x = y

Passo 5

Substituindo y + z = 0 implies z = -y na quarta equação:

Passo 6

Agora, substituímos 2y - y - y = 0 implies 0 = 0 e na terceira equação:
Isso nos mostra que não há restrições adicionais, e as soluções dependem de .

Passo 7

Portanto, podemos expressar os vetores do núcleo em termos de x = y, z = -y :
(y, y, -y) = y cdot (1, 1, -1)
Assim, cada vetor no núcleo é da forma:

Resposta

Uma base do núcleo de é formada pelo vetor .

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