$(Vale 3,0 pontos) Sabendo que é uma transformação linear definida por .
a) (Vale I,0 ponto) Determine uma base do .
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar uma base do núcleo (kernel) da transformação linear definida por . Aqui, estamos trabalhando com conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre transformações lineares e seus núcleos. Para isso, vamos precisar encontrar todos os vetores que satisfazem a equação .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a condição para que um vetor pertença ao núcleo de . Isso significa que aplicando no vetor deve resultar no vetor zero em :
Passo 3
Agora, vamos transformar isso em um sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema passo a passo. A primeira equação nos dá:
Passo 5
Substituindo na quarta equação:
Passo 6
Agora, substituímos e na terceira equação:
Isso nos mostra que não há restrições adicionais, e as soluções dependem de .
Passo 7
Portanto, podemos expressar os vetores do núcleo em termos de :