$(Vale 3,0 pontos) Sabendo que é uma transformação linear definida por .
a) (Vale I,0 ponto) Determine uma base do .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar uma base do núcleo (kernel) da transformação linear definida por . Aqui, estamos trabalhando com conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre transformações lineares e seus núcleos. Para isso, vamos precisar encontrar todos os vetores que satisfazem a equação .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a condição para que um vetor pertença ao núcleo de . Isso significa que aplicando no vetor deve resultar no vetor zero em :

Passo 3

Agora, vamos transformar isso em um sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. A primeira equação nos dá:

Passo 5

Substituindo na quarta equação:

Passo 6

Agora, substituímos e na terceira equação:
Isso nos mostra que não há restrições adicionais, e as soluções dependem de .

Passo 7

Portanto, podemos expressar os vetores do núcleo em termos de :
Assim, cada vetor no núcleo é da forma:

Resposta

Uma base do núcleo de é formada pelo vetor .

Exercícios relacionados

Determine .
b) e
Justifique se as expressões abaixo fazem sentido e, em caso afirmativo, diga se elas representam um número ou um vetor
a)
Seja o conjunto das funções y satisfazendo a equação (b) Mostre que é um subespaço do espaço vetorial .
$(Vale 2,5 pontos) Considere a transformação linear , definida por e as bases do e do .
b) (Vale 1,0 ponto) Calcule , onde .