Seja S=u, v, w um conjunto l.i. em V. Verifique se os conjuntos abaixo são l.i. ou l.d…
a) S1=u, u+v, u+v+w
b) S2=u-v, v-w, w-u
c) S3=u+v, u+v+w, w

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto que é linearmente independente em um espaço vetorial . Precisamos verificar se os seguintes conjuntos são linearmente independentes (l.i.) ou linearmente dependentes (l.d.):
a)
b)
c)
Para resolver isso, vamos lembrar que um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela onde todos os coeficientes são zero. Caso contrário, é linearmente dependente.

Passo 2

Parte a) a cdot u + b cdot (u + v) + c cdot (u + v + w) = 0
Primeiro, vamos escrever uma combinação linear desses vetores igual a zero:
a cdot u + b cdot u + b cdot v + c cdot u + c cdot v + c cdot w = 0
Vamos expandir essa expressão:
(a + b + c) cdot u + (b + c) cdot v + c cdot w = 0
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
a + b + c = 0 b + c = 0 c = 0
Como é linearmente independente, os coeficientes de , e devem ser iguais a zero:
Resolvendo o sistema:
  • Da terceira equação:
  • Substituindo na segunda equação:
  • Substituindo e na primeira equação:
Como a única solução é , o conjunto é linearmente independente.

Passo 3

Parte b) a cdot (u - v) + b cdot (v - w) + c cdot (w - u) = 0
Vamos montar a combinação linear igual a zero:
a cdot u - a cdot v + b cdot v - b cdot w + c cdot w - c cdot u = 0
Expandindo:
(a - c) cdot u + (-a + b) cdot v + (-b + c) cdot w = 0
Agrupando os termos semelhantes:
a - c = 0 -a + b = 0 -b + c = 0
Igualando os coeficientes a zero:
Resolvendo o sistema:
  • Da primeira equação:
  • Da segunda equação:
  • Da terceira equação:
Isso implica que . Portanto, qualquer múltiplo não nulo de satisfaz as equações, por exemplo, , , .
Como existe uma solução não trivial, o conjunto é linearmente dependente.

Passo 4

Parte c) a cdot (u + v) + b cdot (u + v + w) + c cdot w = 0
Vamos escrever a combinação linear igual a zero:
a cdot u + a cdot v + b cdot u + b cdot v + b cdot w + c cdot w = 0
Expandindo:
(a + b) cdot u + (a + b) cdot v + (b + c) cdot w = 0
Agrupando os termos semelhantes:
a + b = 0 a + b = 0 b + c = 0
Igualando os coeficientes a zero:
Das primeiras duas equações, temos . Da terceira equação, .
Substituindo e , temos que todas as variáveis podem ser expressas em termos de . Por exemplo, se , então e .
Isso mostra que existe uma solução não trivial, como , , .
Portanto, o conjunto é linearmente dependente.

Resposta

a) é linearmente independente.
b) é linearmente dependente.
c) é linearmente dependente.

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