Seja um conjunto l.i. em . Verifique se os conjuntos abaixo são l.i. ou l.d…
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto que é linearmente independente em um espaço vetorial . Precisamos verificar se os seguintes conjuntos são linearmente independentes (l.i.) ou linearmente dependentes (l.d.):
a)
b)
c)
Para resolver isso, vamos lembrar que um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela onde todos os coeficientes são zero. Caso contrário, é linearmente dependente.
Passo 2
Parte a)
Primeiro, vamos escrever uma combinação linear desses vetores igual a zero:
Vamos expandir essa expressão:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Como é linearmente independente, os coeficientes de , e devem ser iguais a zero:
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação:
Substituindo na segunda equação:
Substituindo e na primeira equação:
Como a única solução é , o conjunto é linearmente independente.
Passo 3
Parte b) a cdot (u - v) + b cdot (v - w) + c cdot (w - u) = 0
Vamos montar a combinação linear igual a zero:
a cdot u - a cdot v + b cdot v - b cdot w + c cdot w - c cdot u = 0
Expandindo:
(a - c) cdot u + (-a + b) cdot v + (-b + c) cdot w = 0
Agrupando os termos semelhantes:
a - c = 0 -a + b = 0 -b + c = 0
Igualando os coeficientes a zero:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Isso implica que . Portanto, qualquer múltiplo não nulo de satisfaz as equações, por exemplo, , , .
Como existe uma solução não trivial, o conjunto é linearmente dependente.
Passo 4
Parte c) a cdot (u + v) + b cdot (u + v + w) + c cdot w = 0
Vamos escrever a combinação linear igual a zero:
a cdot u + a cdot v + b cdot u + b cdot v + b cdot w + c cdot w = 0
Expandindo:
(a + b) cdot u + (a + b) cdot v + (b + c) cdot w = 0
Agrupando os termos semelhantes:
a + b = 0 a + b = 0 b + c = 0
Igualando os coeficientes a zero:
Das primeiras duas equações, temos . Da terceira equação, .
Substituindo e , temos que todas as variáveis podem ser expressas em termos de . Por exemplo, se , então e .
Isso mostra que existe uma solução não trivial, como , , .