Verifique se o conjunto das soluções do sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial do
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o conjunto das soluções do sistema linear homogêneo abaixo é um subespaço vetorial de
:
Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial. Basicamente, um subespaço vetorial de
é um conjunto de vetores que:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob adição (se você pegar dois vetores do conjunto e somar, o resultado também está no conjunto).
- É fechado sob multiplicação por escalar (se você pegar um vetor do conjunto e multiplicar por um número qualquer, o resultado também está no conjunto).
Como o sistema é homogêneo (toda equação igual a zero), sabemos que o vetor zero
é sempre uma solução. Vamos verificar os outros pontos resolvendo o sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver o sistema para achar todas as soluções. Temos:
-
(Equação 1) -
(Equação 2)
Vamos resolver esse sistema por eliminação. Subtraindo a Equação 2 da Equação 1:
Agora, sabemos que
. Vamos substituir isso na Equação 2 para encontrar
:
Então, temos que
e
. Podemos expressar as soluções em termos de
:
Isso significa que todas as soluções são múltiplos do vetor
.
Passo 3
Agora, vamos analisar se esse conjunto de soluções forma um subespaço vetorial.
-
Contém o vetor zero: Se
, então . Então, o vetor zero está no conjunto. -
Fechado sob adição: Se temos dois vetores no conjunto, digamos
e , a soma deles é , que também está no conjunto. -
Fechado sob multiplicação por escalar: Se temos um vetor
e multiplicamos por um escalar , obtemos , que também está no conjunto.
Como todas as três condições estão satisfeitas, o conjunto das soluções é um subespaço vetorial de
.
Resposta
Sim, o conjunto das soluções do sistema linear homogêneo dado é um subespaço vetorial de
.
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Seja
um conjunto l.i. em
. Verifique se os conjuntos abaixo são l.i. ou l.d…
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Dados os vetores
e
, calcular:
Calcule .
Calcule
Sejam
e
fixado. Mostre que cada uma das funçð̃es
abaixo é linear:
(b) . (Diferença para frente)
(b)
6
Seja . Mostre que se
, então
.
Seja