Verifique se o conjunto das soluções do sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial do R^3
r x+2 y-3 z=0 x-2 y+z=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o conjunto das soluções do sistema linear homogêneo abaixo é um subespaço vetorial de r x + 2y - 3z = 0 x - 2y + z = 0 :
Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial. Basicamente, um subespaço vetorial de é um conjunto de vetores que:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição (se você pegar dois vetores do conjunto e somar, o resultado também está no conjunto).
  3. É fechado sob multiplicação por escalar (se você pegar um vetor do conjunto e multiplicar por um número qualquer, o resultado também está no conjunto).
Como o sistema é homogêneo (toda equação igual a zero), sabemos que o vetor zero é sempre uma solução. Vamos verificar os outros pontos resolvendo o sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o sistema para achar todas as soluções. Temos:
  1. (x + 2y - 3z) - (x - 2y + z) = 0 - 0 x + 2y - 3z - x + 2y - z = 0 4y - 4z = 0 y = z   (Equação 1)
  2. x - 2y + z = 0 x - 2z + z = 0 (substituindo y = z) x - z = 0 x = z    (Equação 2)
Vamos resolver esse sistema por eliminação. Subtraindo a Equação 2 da Equação 1:
(x, y, z) = (z, z, z) = z cdot (1, 1, 1)
Agora, sabemos que . Vamos substituir isso na Equação 2 para encontrar :
Então, temos que e . Podemos expressar as soluções em termos de :
Isso significa que todas as soluções são múltiplos do vetor .

Passo 3

Agora, vamos analisar se esse conjunto de soluções forma um subespaço vetorial.
  1. Contém o vetor zero: Se , então . Então, o vetor zero está no conjunto.
  2. Fechado sob adição: Se temos dois vetores no conjunto, digamos e , a soma deles é , que também está no conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se temos um vetor e multiplicamos por um escalar , obtemos , que também está no conjunto.
Como todas as três condições estão satisfeitas, o conjunto das soluções é um subespaço vetorial de .

Resposta

Sim, o conjunto das soluções do sistema linear homogêneo dado é um subespaço vetorial de .

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