Verifique se o conjunto das soluções do sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial do

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o conjunto das soluções do sistema linear homogêneo abaixo é um subespaço vetorial de :
Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial. Basicamente, um subespaço vetorial de é um conjunto de vetores que:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição (se você pegar dois vetores do conjunto e somar, o resultado também está no conjunto).
  3. É fechado sob multiplicação por escalar (se você pegar um vetor do conjunto e multiplicar por um número qualquer, o resultado também está no conjunto).
Como o sistema é homogêneo (toda equação igual a zero), sabemos que o vetor zero é sempre uma solução. Vamos verificar os outros pontos resolvendo o sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o sistema para achar todas as soluções. Temos:
  1.   (Equação 1)
  2.    (Equação 2)
Vamos resolver esse sistema por eliminação. Subtraindo a Equação 2 da Equação 1:
Agora, sabemos que . Vamos substituir isso na Equação 2 para encontrar :
Então, temos que e . Podemos expressar as soluções em termos de :
Isso significa que todas as soluções são múltiplos do vetor .

Passo 3

Agora, vamos analisar se esse conjunto de soluções forma um subespaço vetorial.
  1. Contém o vetor zero: Se , então . Então, o vetor zero está no conjunto.
  2. Fechado sob adição: Se temos dois vetores no conjunto, digamos e , a soma deles é , que também está no conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se temos um vetor e multiplicamos por um escalar , obtemos , que também está no conjunto.
Como todas as três condições estão satisfeitas, o conjunto das soluções é um subespaço vetorial de .

Resposta

Sim, o conjunto das soluções do sistema linear homogêneo dado é um subespaço vetorial de .

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Seja um conjunto l.i. em . Verifique se os conjuntos abaixo são l.i. ou l.d…
a)
b)
c)
Dados os vetores e , calcular:
Calcule .
Sejam e fixado. Mostre que cada uma das funçð̃es abaixo é linear:
(b) . (Diferença para frente)
6
Seja . Mostre que se , então .