Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência
é tal que
, calcule os seguintes limites:
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite da razão entre duas somas: no numerador, a soma dos termos
e no denominador, a soma dos termos
. Isso envolve conceitos de sequences (sequências) e series geométricas, então vamos precisar entender como somar termos de progressões geométricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tanto o numerador quanto o denominador são somas de progressões geométricas. Uma progressão geométrica é uma sequência onde cada termo é multiplicado por uma constante chamada de razão. No numerador, a razão é 2 e no denominador, a razão é 3.
Passo 3
A fórmula para a soma dos
primeiros termos de uma progressão geométrica é:
onde
é o primeiro termo e
é a razão.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao numerador:
- Primeiro termo
- Razão
Então,
Passo 5
Agora, aplicamos a mesma fórmula ao denominador:
- Primeiro termo
- Razão
Então,
Passo 6
Agora, substituímos as somas encontradas na expressão original:
Passo 7
Simplificamos a expressão. Como
e
são os termos de maior grau, os demais termos se tornam insignificantes quando
tende ao infinito. Então, podemos simplificar para:
Passo 8
Reescrevemos a expressão para facilitar o cálculo do limite:
Passo 9
Observamos que
é uma fração menor que 1. Quando uma base menor que 1 é elevada a uma potência que tende ao infinito, o resultado tende a zero:
Resposta
O limite é
.