Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência an é tal que lim an=L in R, calcule os seguintes limites:
(e) lim 2+4+cdots+2^n3+9+cdots+3^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite da razão entre duas somas: no numerador, a soma dos termos e no denominador, a soma dos termos . Isso envolve conceitos de sequences (sequências) e series geométricas, então vamos precisar entender como somar termos de progressões geométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tanto o numerador quanto o denominador são somas de progressões geométricas. Uma progressão geométrica é uma sequência onde cada termo é multiplicado por uma constante chamada de razão. No numerador, a razão é 2 e no denominador, a razão é 3.

Passo 3

A fórmula para a soma dos Sn = a1 cdot r^n - 1r - 1 primeiros termos de uma progressão geométrica é:
onde é o primeiro termo e é a razão.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao numerador:
  • Primeiro termo Sn^numerador = 2 cdot 2^n - 12 - 1 = 2 cdot (2^n - 1) = 2^n+1 - 2
  • Razão
    Então,

Passo 5

Agora, aplicamos a mesma fórmula ao denominador:
  • Primeiro termo Sn^denominador = 3 cdot 3^n - 13 - 1 = 3 cdot 3^n - 12 = 3^n+1 - 32
  • Razão
    Então,

Passo 6

Agora, substituímos as somas encontradas na expressão original:
limn to infty 2^n+1 - 23^n+1 - 32 = limn to infty 2 cdot (2^n+1 - 2)3^n+1 - 3

Passo 7

Simplificamos a expressão. Como limn to infty 2 cdot 2^n+13^n+1 = limn to infty 2^n+23^n+1 e são os termos de maior grau, os demais termos se tornam insignificantes quando tende ao infinito. Então, podemos simplificar para:

Passo 8

Reescrevemos a expressão para facilitar o cálculo do limite:
limn to infty 2^n+2 cdot 3^-(n+1) = limn to infty 2^2 cdot (23)^n+1 = 4 cdot (23)^n+1

Passo 9

Observamos que limn to infty 4 cdot (23)^n+1 = 0 é uma fração menor que 1. Quando uma base menor que 1 é elevada a uma potência que tende ao infinito, o resultado tende a zero:

Resposta

O limite é .

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