Seja uma sequência {xn} satisfazendo |xn - xn+1| < 1/3^n. Mostre que {xn} converge.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência {xn} onde a diferença entre termos consecutivos é menor que . Nosso objetivo é mostrar que essa sequência converge, ou seja, que ela se aproxima de um valor fixo à medida que n aumenta. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de sequências e séries, especialmente sobre sequências de Cauchy e séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência convergir. Uma sequência {xn} converge se, para qualquer pequeno número positivo epsilon, existe um ponto na sequência a partir do qual todos os termos seguintes estão a menos de epsilon de um certo número L. Isso significa que a sequência está se aproximando de L.

Passo 3

Para mostrar que a sequência converge, vamos provar que ela é uma sequência de Cauchy. Uma sequência de Cauchy é aquela onde, para qualquer , podemos encontrar um número N tal que para todos os , a diferença . Se mostrarmos isso, sabemos que a sequência converge.

Passo 4

Vamos analisar a diferença entre dois termos quaisquer e xn, onde . Usando a desigualdade triangular, temos:

Passo 5

Sabemos que cada diferença . Então, somando todas essas diferenças desde até , temos:

Passo 6

Essa soma é uma série geométrica com razão 1/3. A soma de uma série geométrica infinita com primeiro termo a e razão r (onde ) é dada por . No nosso caso, mesmo que a série seja finita, podemos usar essa fórmula para obter uma estimativa:

Passo 7

Então, temos que:

Passo 8

Agora, queremos que essa diferença seja menor que qualquer . Podemos escolher n grande o suficiente para que . Basta resolver para n:

Passo 9

Portanto, para qualquer , podemos encontrar um tal que para todos os , a diferença . Isso mostra que {xn} é uma sequência de Cauchy.

Passo 10

Em espaços completos, como os números reais, toda sequência de Cauchy converge. Portanto, concluímos que a sequência {xn} converge.

Resposta

A sequência {xn} converge.

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