Seja uma sequência
satisfazendo
. Mostre que
converge.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência
onde a diferença entre termos consecutivos é menor que
. Nosso objetivo é mostrar que essa sequência converge, ou seja, que ela se aproxima de um valor fixo à medida que
aumenta. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de sequências e séries, especialmente sobre sequências de Cauchy e séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência convergir. Uma sequência
converge se, para qualquer pequeno número positivo
, existe um ponto na sequência a partir do qual todos os termos seguintes estão a menos de
de um certo número
. Isso significa que a sequência está se aproximando de
.
Passo 3
Para mostrar que a sequência converge, vamos provar que ela é uma sequência de Cauchy. Uma sequência de Cauchy é aquela onde, para qualquer
, podemos encontrar um número
tal que para todos os
, a diferença
. Se mostrarmos isso, sabemos que a sequência converge.
Passo 4
Vamos analisar a diferença entre dois termos quaisquer
e
, onde
. Usando a desigualdade triangular, temos:
Passo 5
Sabemos que cada diferença
. Então, somando todas essas diferenças desde
até
, temos:
Passo 6
Essa soma é uma série geométrica com razão
. A soma de uma série geométrica infinita com primeiro termo
e razão
(onde
) é dada por
. No nosso caso, mesmo que a série seja finita, podemos usar essa fórmula para obter uma estimativa:
Passo 7
Então, temos que:
Passo 8
Agora, queremos que essa diferença seja menor que qualquer
. Podemos escolher
grande o suficiente para que
. Basta resolver para
:
Passo 9
Portanto, para qualquer
, podemos encontrar um
tal que para todos os
, a diferença
. Isso mostra que
é uma sequência de Cauchy.
Passo 10
Em espaços completos, como os números reais, toda sequência de Cauchy converge. Portanto, concluímos que a sequência
converge.
Resposta
A sequência
converge.
Exercícios relacionados
O que é uma sequência?
O que significa
?
Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência
é tal que
, calcule os seguintes limites:
(a)
(a)
Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência
é tal que
, calcule os seguintes limites:
(d)
(d)