Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência an é tal que lim an=L in R, calcule os seguintes limites:
(d) lim a1+a2+cdots+n ann^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de uma fração envolvendo uma sequência que converge para . Estamos trabalhando com conceitos de limites de sequências e somatórios. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com somas que envolvem termos de uma sequência e propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o limite que queremos calcular:
limn to infty a1 + a2 + cdots + n ann^2

Passo 3

Sabemos que . Isso significa que, para valores grandes de , os termos estão se aproximando de . Então, podemos considerar que, para grande, .

Passo 4

Substituindo sumk=1^n k ak approx sumk=1^n k L = L sumk=1^n k por na soma, temos:

Passo 5

Sabemos que a soma dos primeiros sumk=1^n k = n(n + 1)2 números naturais é:
L sumk=1^n k = L cdot n(n + 1)2 = L n (n + 1)2
Então, substituindo na expressão:

Passo 6

Agora, vamos substituir isso de volta no limite original:
limn to infty L n (n + 1)2n^2 = limn to infty L (n + 1)2n

Passo 7

Simplificando a fração:
L (n + 1)2n = L n + L2n = L n2n + L2n = L2 + L2n

Passo 8

Agora, vamos calcular o limite de cada termo separadamente:
limn to infty L2 = L2
limn to infty L2n = 0

Resposta

Portanto, o limite é:
L2

Exercícios relacionados