Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência é tal que , calcule os seguintes limites:
(d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de uma fração envolvendo uma sequência que converge para . Estamos trabalhando com conceitos de limites de sequências e somatórios. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com somas que envolvem termos de uma sequência e propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o limite que queremos calcular:

Passo 3

Sabemos que . Isso significa que, para valores grandes de , os termos estão se aproximando de . Então, podemos considerar que, para grande, .

Passo 4

Substituindo por na soma, temos:

Passo 5

Sabemos que a soma dos primeiros números naturais é:
Então, substituindo na expressão:

Passo 6

Agora, vamos substituir isso de volta no limite original:

Passo 7

Simplificando a fração:

Passo 8

Agora, vamos calcular o limite de cada termo separadamente:

Resposta

Portanto, o limite é:

Exercícios relacionados

Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência é tal que , calcule os seguintes limites:
(a)
Seja uma sequência satisfazendo . Mostre que converge.
Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência é tal que , calcule os seguintes limites:
(i)
Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência é tal que , calcule os seguintes limites:
(l) Mostre que