Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência
é tal que
, calcule os seguintes limites:
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de uma fração envolvendo uma sequência
que converge para
. Estamos trabalhando com conceitos de limites de sequências e somatórios. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com somas que envolvem termos de uma sequência e propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o limite que queremos calcular:
Passo 3
Sabemos que
. Isso significa que, para valores grandes de
, os termos
estão se aproximando de
. Então, podemos considerar que, para
grande,
.
Passo 4
Substituindo
por
na soma, temos:
Passo 5
Sabemos que a soma dos primeiros
números naturais é:
Então, substituindo na expressão:
Passo 6
Agora, vamos substituir isso de volta no limite original:
Passo 7
Simplificando a fração:
Passo 8
Agora, vamos calcular o limite de cada termo separadamente:
Resposta
Portanto, o limite é:
Exercícios relacionados
Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência
é tal que
, calcule os seguintes limites:
(a)
(a)
Seja uma sequência
satisfazendo
. Mostre que
converge.
Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência
é tal que
, calcule os seguintes limites:
(i)
(i)
Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência
é tal que
, calcule os seguintes limites:
(l) Mostre que
(l) Mostre que