Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência
é tal que
, calcule os seguintes limites:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcularmos o limite de
quando
tende ao infinito, sabendo que a sequência
converge para um número real
. Isso está relacionado ao estudo de sequências e limites, especialmente envolvendo raízes e produtos de termos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão que queremos calcular o limite:
. Essa é a raiz n-ésima do produto dos primeiros
termos da sequência.
Passo 3
Para facilitar o cálculo do limite, vamos usar logaritmos. Sabemos que
. Isso transforma a raiz em um logaritmo, o que simplifica a análise.
Passo 4
Agora, aplicamos a propriedade do logaritmo que transforma o produto em soma:
. Isso nos dá a média dos logaritmos dos termos.
Passo 5
Dado que
, podemos assumir que para grandes valores de
, os termos
estão próximos de
. Assim,
estará próximo de
. Portanto, a média
tende a
conforme
cresce.
Passo 6
Aplicando o limite, temos:
Passo 7
Lembrando que usamos o logaritmo para simplificar, agora voltamos à expressão original usando a função exponencial:
Resposta
Portanto, o limite de
quando
tende ao infinito é
.
Exercícios relacionados
Seja uma sequência
satisfazendo
. Mostre que
converge.
O que é uma sequência?
Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência
é tal que
, calcule os seguintes limites:
(d)
(d)
Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência
é tal que
, calcule os seguintes limites:
(i)
(i)