Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência an é tal que lim an=L in R, calcule os seguintes limites:
(a) lim raiz[n]a1 a2 ldots an

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcularmos o limite de raiz[n]a1 a2 ldots an quando n tende ao infinito, sabendo que a sequência an converge para um número real L. Isso está relacionado ao estudo de sequências e limites, especialmente envolvendo raízes e produtos de termos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão que queremos calcular o limite: raiz[n]a1 a2 ldots an. Essa é a raiz n-ésima do produto dos primeiros n termos da sequência.

Passo 3

Para facilitar o cálculo do limite, vamos usar logaritmos. Sabemos que ln(raiz[n]a1 a2 ldots an) = 1n ln(a1 a2 ldots an). Isso transforma a raiz em um logaritmo, o que simplifica a análise.

Passo 4

Agora, aplicamos a propriedade do logaritmo que transforma o produto em soma: 1n ln(a1 a2 ldots an) = 1n (ln a1 + ln a2 + ldots + ln an). Isso nos dá a média dos logaritmos dos termos.

Passo 5

Dado que lim an = L, podemos assumir que para grandes valores de n, os termos ak estão próximos de L. Assim, ln ak estará próximo de ln L. Portanto, a média 1n (ln a1 + ln a2 + ldots + ln an) tende a ln L conforme n cresce.

Passo 6

Aplicando o limite, temos:
limn to infty 1n (ln a1 + ln a2 + ldots + ln an) = ln L

Passo 7

Lembrando que usamos o logaritmo para simplificar, agora voltamos à expressão original usando a função exponencial:
limn to infty raiz[n]a1 a2 ldots an = e^ln L = L

Resposta

Portanto, o limite de raiz[n]a1 a2 ldots an quando n tende ao infinito é L.

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