Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência é tal que , calcule os seguintes limites:
(a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcularmos o limite de quando tende ao infinito, sabendo que a sequência converge para um número real . Isso está relacionado ao estudo de sequências e limites, especialmente envolvendo raízes e produtos de termos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão que queremos calcular o limite: . Essa é a raiz n-ésima do produto dos primeiros termos da sequência.

Passo 3

Para facilitar o cálculo do limite, vamos usar logaritmos. Sabemos que . Isso transforma a raiz em um logaritmo, o que simplifica a análise.

Passo 4

Agora, aplicamos a propriedade do logaritmo que transforma o produto em soma: . Isso nos dá a média dos logaritmos dos termos.

Passo 5

Dado que , podemos assumir que para grandes valores de , os termos estão próximos de . Assim, estará próximo de . Portanto, a média tende a conforme cresce.

Passo 6

Aplicando o limite, temos:

Passo 7

Lembrando que usamos o logaritmo para simplificar, agora voltamos à expressão original usando a função exponencial:

Resposta

Portanto, o limite de quando tende ao infinito é .

Exercícios relacionados

Seja uma sequência satisfazendo . Mostre que converge.
O que é uma sequência?
Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência é tal que , calcule os seguintes limites:
(d)
Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência é tal que , calcule os seguintes limites:
(i)