Seja ( ) uma matriz real simétrica cujo valor próprio de menor módulo é . Mostrar q ) é inversível se, e somente se, .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz real simétrica, chamada de . O problema quer que a gente mostre que essa matriz é inversível se, e somente se, o menor valor próprio em módulo dessa matriz, que chamamos de , não for zero.
Para resolver isso, vamos precisar:
  • Conhecer o que significa uma matriz ser simétrica.
  • Entender o que são valores próprios (ou autovalores) de uma matriz.
  • Saber quando uma matriz é inversível, ou seja, quando existe uma matriz inversa para ela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz é simétrica se ela é igual à sua transposta, ou seja, . Isso significa que os elementos e são iguais para todos os e .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre valores próprios. Para uma matriz , um valor próprio e um vetor próprio satisfazem a equação . Em outras palavras, quando a matriz age sobre o vetor , o resultado é apenas uma versão escalada de , escalada pelo fator .

Passo 4

Uma propriedade importante de matrizes simétricas é que todos os seus valores próprios são reais e que elas são diagonalizáveis, ou seja, existe uma matriz inversa que pode transformar em uma matriz diagonal contendo apenas seus valores próprios na diagonal.

Passo 5

Agora, vamos entender o que significa uma matriz ser inversível. Uma matriz é inversível se existe outra matriz tal que , onde é a matriz identidade. Uma condição chave para isso é que não tenha determinante zero, o que também implica que zero não é um de seus valores próprios.

Passo 6

Vamos aplicar isso ao nosso caso. A questão fala do menor valor próprio em módulo, . Se , isso significa que nenhum dos valores próprios da matriz é zero. Como zero não é um valor próprio, a matriz não tem determinante zero e, portanto, é inversível.

Passo 7

Por outro lado, se a matriz for inversível, isso implica que seu determinante não é zero, o que significa que nenhum de seus valores próprios é zero. Assim, o menor valor próprio em módulo também não pode ser zero.

Resposta

Portanto, a matriz é inversível se, e somente se, o menor valor próprio em módulo for diferente de zero, ou seja, .

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