Seja (
) uma matriz real simétrica cujo valor próprio de menor módulo é
. Mostrar q
) é inversível se, e somente se,
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz real simétrica, chamada de
. O problema quer que a gente mostre que essa matriz
é inversível se, e somente se, o menor valor próprio em módulo dessa matriz, que chamamos de
, não for zero.
Para resolver isso, vamos precisar:
- Conhecer o que significa uma matriz ser simétrica.
- Entender o que são valores próprios (ou autovalores) de uma matriz.
- Saber quando uma matriz é inversível, ou seja, quando existe uma matriz inversa para ela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz
é simétrica se ela é igual à sua transposta, ou seja,
. Isso significa que os elementos
e
são iguais para todos os
e
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre valores próprios. Para uma matriz
, um valor próprio
e um vetor próprio
satisfazem a equação
. Em outras palavras, quando a matriz
age sobre o vetor
, o resultado é apenas uma versão escalada de
, escalada pelo fator
.
Passo 4
Uma propriedade importante de matrizes simétricas é que todos os seus valores próprios são reais e que elas são diagonalizáveis, ou seja, existe uma matriz inversa que pode transformar
em uma matriz diagonal contendo apenas seus valores próprios na diagonal.
Passo 5
Agora, vamos entender o que significa uma matriz ser inversível. Uma matriz
é inversível se existe outra matriz
tal que
, onde
é a matriz identidade. Uma condição chave para isso é que
não tenha determinante zero, o que também implica que zero não é um de seus valores próprios.
Passo 6
Vamos aplicar isso ao nosso caso. A questão fala do menor valor próprio em módulo,
. Se
, isso significa que nenhum dos valores próprios da matriz
é zero. Como zero não é um valor próprio, a matriz
não tem determinante zero e, portanto, é inversível.
Passo 7
Por outro lado, se a matriz
for inversível, isso implica que seu determinante não é zero, o que significa que nenhum de seus valores próprios é zero. Assim, o menor valor próprio em módulo
também não pode ser zero.
Resposta
Portanto, a matriz
é inversível se, e somente se, o menor valor próprio em módulo
for diferente de zero, ou seja,
.
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