Seja
o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em
e
por
Como a adição de
é a operação usual de
, certos axiomas de espaço vetorial valem para
por valerem em
. Quais são esses axiomas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um conjunto
formado por pares ordenados de números reais, ou seja, vetores no plano
. A gente precisa identificar quais axiomas de espaço vetorial
satisfaz, sabendo que a adição em
é a mesma da adição usual em
. Para resolver isso, vamos lembrar quais são os axiomas que dependem apenas da operação de adição.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Basicamente, é um conjunto de vetores onde a gente pode fazer duas operações: adição e multiplicação por escalar, que precisam seguir certos axiomas para que tudo funcione direitinho. No nosso caso, a adição é a usual de
, ou seja, se
e
, então:
E a multiplicação por escalar é definida como:
Passo 3
Agora, os axiomas que envolvem somente a operação de adição são:
- Fechamento da adição: Se você soma dois vetores de
, o resultado também está em . - Comutatividade da adição: A ordem dos vetores na soma não altera o resultado, ou seja,
. - Associatividade da adição: A maneira como os vetores são agrupados na soma não altera o resultado, ou seja,
. - Existência do elemento neutro: Existe um vetor zero em
que, quando somado a qualquer vetor, não muda esse vetor, . - Existência do elemento inverso: Para todo vetor
, existe um vetor que, quando somado a , resulta no vetor zero, .
Como a adição em
é a mesma que em
, e sabemos que
satisfaz todos esses axiomas, podemos concluir que
também os satisfaz.
Resposta
Os axiomas de espaço vetorial que
satisfaz por ter a adição usual de
são:
- Fechamento da adição
- Comutatividade da adição
- Associatividade da adição
- Existência do elemento neutro
- Existência do elemento inverso