Seja o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em e por
Como a adição de é a operação usual de , certos axiomas de espaço vetorial valem para por valerem em . Quais são esses axiomas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um conjunto formado por pares ordenados de números reais, ou seja, vetores no plano . A gente precisa identificar quais axiomas de espaço vetorial satisfaz, sabendo que a adição em é a mesma da adição usual em . Para resolver isso, vamos lembrar quais são os axiomas que dependem apenas da operação de adição.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Basicamente, é um conjunto de vetores onde a gente pode fazer duas operações: adição e multiplicação por escalar, que precisam seguir certos axiomas para que tudo funcione direitinho. No nosso caso, a adição é a usual de , ou seja, se e , então:
E a multiplicação por escalar é definida como:
Passo 3
Agora, os axiomas que envolvem somente a operação de adição são:
Fechamento da adição: Se você soma dois vetores de , o resultado também está em .
Comutatividade da adição: A ordem dos vetores na soma não altera o resultado, ou seja, .
Associatividade da adição: A maneira como os vetores são agrupados na soma não altera o resultado, ou seja, .
Existência do elemento neutro: Existe um vetor zero em que, quando somado a qualquer vetor, não muda esse vetor, .
Existência do elemento inverso: Para todo vetor , existe um vetor que, quando somado a , resulta no vetor zero, .
Como a adição em é a mesma que em , e sabemos que satisfaz todos esses axiomas, podemos concluir que também os satisfaz.
Resposta
Os axiomas de espaço vetorial que satisfaz por ter a adição usual de são: