Sempre que desejamos identificar objetos, dando uma definição de igualdade, é fundamental que tal identificação satisfaça as três leis básicas das relações de equivalências, a saber: reflexiva, simétrica e transitiva. Dada e definição de igualdade de vetores, mostre que:
(i) P Q=P Q (ref<=xiva);
(ii) Se P Q=P^prime Q^prime, então P^prime Q^prime=P Q (simétrica);
(ii) Se P Q=P^prime Q^prime, e P^prime Q^prime=P^prime prime Q^prime prime, então P Q=P^prime prime Q^prime prime (transitiva).
Sugestão: Distinga os casos P=Q e P neq Q.

Passo 1

Vamos resolver este exercício juntos! A questão pede para mostrar que a definição de igualdade de vetores satisfaz as três leis básicas das relações de equivalência: reflexiva, simétrica e transitiva. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial e as propriedades dessas relações. Vamos dividir a resolução em três partes, cada uma correspondendo a uma das leis de equivalência.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a propriedade reflexiva. Essa propriedade diz que qualquer vetor é igual a si mesmo.
Matematicamente, isso significa que para qualquer ponto PQ = PP = 0 , o vetor PQ = PQ é igual a si próprio quando .
Quando , temos:
Aqui, representa o vetor nulo, que é igual a si mesmo. Portanto,
Isso confirma que a propriedade reflexiva é satisfeita.

Passo 3

Agora, vamos verificar a propriedade simétrica. Essa propriedade afirma que se um vetor PQ = P'Q' é igual a outro vetor P'Q' = PQ , então também é igual a .
Assumindo que:
Pelo princípio da igualdade, podemos inverter os lados da equação sem alterar a veracidade. Assim,
Essa inversão mostra que a propriedade simétrica está cumprida.

Passo 4

Por último, vamos verificar a propriedade transitiva. Essa propriedade diz que se PQ = P'Q' e P'Q' = P''Q'' e PQ = P''Q'' , então .
Dado que:
Podemos substituir na primeira equação pela segunda, obtendo:
Isso confirma que a propriedade transitiva também é satisfeita.

Resposta

Mostramos que a definição de igualdade de vetores satisfaz as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva, confirmando que é uma relação de equivalência.

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A=[rrr 0 & -1 & -2 -1 & 1 & 0 1 & -1 & 2 ], B=[rrr 1 & -1 & 12 2 & 1 & 0 12 & -1 & 1 ], C=[rrr 1 & 2 & -12 1 & 2 & 0 -12 & 2 & 0 ]
Encontre as seguintes matrizes:
(b) 13 B-13 C;
Seja o sistema cx-2 y=1 x-y+a z=2 Determine: a y+9 z=b
Se o valor de b influi ao sistema ter, ou não, solução única. Justifique sua resposta.
Dica: Utilize o Teorema de Cramer
Escreva em linguagem vetorial, com justificativa*: M é o ponto médio do segmento P Q.
(*) Neste curso, tudo que for afirmado deve ser justificado, excluído casos de evidência.
Sejam B, C, D, K, M pontos quaisquer no espaçø. Calcule a soma
K D+M C+D M+C K