Sempre que desejamos identificar objetos, dando uma definição de igualdade, é fundamental que tal identificação satisfaça as três leis básicas das relações de equivalências, a saber: reflexiva, simétrica e transitiva. Dada e definição de igualdade de vetores, mostre que:
(ii) Se P Q=P^prime Q^prime, então P^prime Q^prime=P Q (simétrica);
(ii) Se P Q=P^prime Q^prime, e P^prime Q^prime=P^prime prime Q^prime prime, então P Q=P^prime prime Q^prime prime (transitiva).
Sugestão: Distinga os casos P=Q e P neq Q.
Passo 1
Vamos resolver este exercício juntos! A questão pede para mostrar que a definição de igualdade de vetores satisfaz as três leis básicas das relações de equivalência: reflexiva, simétrica e transitiva. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial e as propriedades dessas relações. Vamos dividir a resolução em três partes, cada uma correspondendo a uma das leis de equivalência.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a propriedade reflexiva. Essa propriedade diz que qualquer vetor é igual a si mesmo.
Matematicamente, isso significa que para qualquer ponto PQ = PP = 0 , o vetor PQ = PQ é igual a si próprio quando .
Quando , temos:
Aqui, representa o vetor nulo, que é igual a si mesmo. Portanto,
Isso confirma que a propriedade reflexiva é satisfeita.
Passo 3
Agora, vamos verificar a propriedade simétrica. Essa propriedade afirma que se um vetor PQ = P'Q' é igual a outro vetor P'Q' = PQ , então também é igual a .
Assumindo que:
Pelo princípio da igualdade, podemos inverter os lados da equação sem alterar a veracidade. Assim,
Essa inversão mostra que a propriedade simétrica está cumprida.
Passo 4
Por último, vamos verificar a propriedade transitiva. Essa propriedade diz que se PQ = P'Q' e P'Q' = P''Q'' e PQ = P''Q'' , então .
Dado que:
Podemos substituir na primeira equação pela segunda, obtendo:
Isso confirma que a propriedade transitiva também é satisfeita.
Resposta
Mostramos que a definição de igualdade de vetores satisfaz as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva, confirmando que é uma relação de equivalência.