Seja o sistema homogêneo:
l x-6 y+7 z+4 w=0 -2 y+2 z+2 w=0 x-4 y+5 z+2 w=0
Determinar uma base e a dimensão do espaço-nulo deste sistema. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações homogêneo que envolve as variáveis , , e . Nosso objetivo aqui é encontrar uma base e determinar a dimensão do espaço-nulo desse sistema. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, mais especificamente de sistemas lineares e espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema para facilitar a resolução. A matriz aumentada fica assim:
1 & -6 & 7 & 4 & | & 0 0 & -2 & 2 & 2 & | & 0 1 & -4 & 5 & 2 & | & 0

Passo 3

Agora, vamos começar a simplificar a matriz usando operações elementares. Subtraímos a primeira linha da terceira linha para eliminar o 1 & -6 & 7 & 4 & | & 0 0 & -2 & 2 & 2 & | & 0 0 & 2 & -2 & -2 & | & 0 da terceira equação:

Passo 4

Observamos que a segunda e a terceira linhas são múltiplas uma da outra. Vamos multiplicar a segunda linha por 1 & -6 & 7 & 4 & | & 0 0 & 2 & -2 & -2 & | & 0 0 & 2 & -2 & -2 & | & 0 para facilitar a eliminação:

Passo 5

Subtraímos a segunda linha da terceira linha para eliminar as variáveis repetidas:
1 & -6 & 7 & 4 & | & 0 0 & 2 & -2 & -2 & | & 0 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0

Passo 6

Agora, temos um sistema simplificado com duas equações independentes:
x - 6y + 7z + 4w = 0 2y - 2z - 2w = 0
Vamos resolver a segunda equação para 2y - 2z - 2w = 0 implies y = z + w :

Passo 7

Substituímos x - 6(z + w) + 7z + 4w = 0 x - 6z - 6w + 7z + 4w = 0 x + z - 2w = 0 implies x = -z + 2w na primeira equação:

Passo 8

Agora, expressamos as variáveis em função dos parâmetros livres. Vamos escolher x = -z + 2w y = z + w z = z w = w e x y z w = z -1 1 1 0 + w 2 1 0 1 como livres:
Isso pode ser escrito vetorialmente como:

Resposta

Uma base para o espaço-nulo é formada pelos vetores -1 1 1 0 e 2 1 0 1 . A dimensão do espaço-nulo é 2.

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