Determinar uma base e a dimensão do espaço-nulo deste sistema. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações homogêneo que envolve as variáveis , , e . Nosso objetivo aqui é encontrar uma base e determinar a dimensão do espaço-nulo desse sistema. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, mais especificamente de sistemas lineares e espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema para facilitar a resolução. A matriz aumentada fica assim:
Agora, vamos começar a simplificar a matriz usando operações elementares. Subtraímos a primeira linha da terceira linha para eliminar o 1 & -6 & 7 & 4 & | & 0 0 & -2 & 2 & 2 & | & 0 0 & 2 & -2 & -2 & | & 0 da terceira equação:
Passo 4
Observamos que a segunda e a terceira linhas são múltiplas uma da outra. Vamos multiplicar a segunda linha por 1 & -6 & 7 & 4 & | & 0 0 & 2 & -2 & -2 & | & 0 0 & 2 & -2 & -2 & | & 0 para facilitar a eliminação:
Passo 5
Subtraímos a segunda linha da terceira linha para eliminar as variáveis repetidas:
Agora, temos um sistema simplificado com duas equações independentes:
x - 6y + 7z + 4w = 0 2y - 2z - 2w = 0
Vamos resolver a segunda equação para 2y - 2z - 2w = 0 implies y = z + w :
Passo 7
Substituímos x - 6(z + w) + 7z + 4w = 0 x - 6z - 6w + 7z + 4w = 0 x + z - 2w = 0 implies x = -z + 2w na primeira equação:
Passo 8
Agora, expressamos as variáveis em função dos parâmetros livres. Vamos escolher x = -z + 2w y = z + w z = z w = w e x y z w = z -1 1 1 0 + w 2 1 0 1 como livres:
Isso pode ser escrito vetorialmente como:
Resposta
Uma base para o espaço-nulo é formada pelos vetores -1 1 1 0 e 2 1 0 1 . A dimensão do espaço-nulo é 2.