Os vértices de um triângulo são A=(1,0,2), B=(2,1,-1) e C=(-1,1,3). Calcular a altura desse triângulo relativa à base A B.

Passo 1

Resumo do Problema:
Temos um triângulo com vértices nos pontos , e . Nosso objetivo é calcular a altura desse triângulo relativa à base .
Conteúdo da Matéria:
Vamos utilizar conceitos de geometria analítica, especificamente o cálculo de vetores, produto vetorial e distância entre pontos no espaço tridimensional.
O que vamos precisar:
  • Vetores que representam os lados do triângulo.
  • Fórmulas para calcular o produto vetorial entre dois vetores.
  • Fórmulas para calcular a distância entre dois pontos.

Passo 2

Identificando os Vetores:
Primeiro, vamos encontrar os vetores que representam os lados do triângulo.
  • Vetor AB = B - A = (2 - 1, 1 - 0, -1 - 2) = (1, 1, -3) que vai de AC = C - A = (-1 - 1, 1 - 0, 3 - 2) = (-2, 1, 1) para :
  • Vetor que vai de para :

Passo 3

Calculando o Produto Vetorial:
Para encontrar a área do triângulo, usamos o produto vetorial dos vetores AB times AC = i & j & k 1 & 1 & -3 -2 & 1 & 1 e AB times AC = i(1 cdot 1 - (-3) cdot 1) - j(1 cdot 1 - (-3) cdot (-2)) + k(1 cdot 1 - 1 cdot (-2)) . A fórmula do produto vetorial em 3D é:
= i(1 + 3) - j(1 - 6) + k(1 + 2)
Calculando o determinante:
= 4i + 5j + 3k
= (4, 5, 3)

Passo 4

Calculando a Magnitude do Produto Vetorial:
A magnitude do produto vetorial | AB times AC | = raiz4^2 + 5^2 + 3^2 = raiz16 + 25 + 9 = raiz50 = 5raiz2 nos dá duas vezes a área do triângulo.
Área = 12 | AB times AC | = 12 times 5raiz2 = 5raiz22
Área do Triângulo:
Á

Passo 5

Calculando a Base | AB | = raiz1^2 + 1^2 + (-3)^2 = raiz1 + 1 + 9 = raiz11 :
Vamos calcular a magnitude do vetor , que é a base do triângulo.

Passo 6

Calculando a Altura:
A altura Área = 12 times Base times A relativa à base h = 2 times ÁreaBase = 2 times 5raiz22raiz11 = 5raiz2raiz11 pode ser encontrada usando a fórmula da área do triângulo:
h = 5raiz2 times raiz1111 = 5raiz2211 = 511raiz22 Á
Isolando :
Á
Podemos racionalizar o denominador:

Resposta

A altura do triângulo relativa à base é .

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