Os vértices de um triângulo são e . Calcular a altura desse triângulo relativa à base .
Passo 1
Resumo do Problema:
Temos um triângulo com vértices nos pontos , e . Nosso objetivo é calcular a altura desse triângulo relativa à base .
Conteúdo da Matéria:
Vamos utilizar conceitos de geometria analítica, especificamente o cálculo de vetores, produto vetorial e distância entre pontos no espaço tridimensional.
O que vamos precisar:
Vetores que representam os lados do triângulo.
Fórmulas para calcular o produto vetorial entre dois vetores.
Fórmulas para calcular a distância entre dois pontos.
Passo 2
Identificando os Vetores:
Primeiro, vamos encontrar os vetores que representam os lados do triângulo.
Vetor que vai de para :
Vetor que vai de para :
Passo 3
Calculando o Produto Vetorial:
Para encontrar a área do triângulo, usamos o produto vetorial dos vetores e . A fórmula do produto vetorial em 3D é:
Calculando o determinante:
= 4i + 5j + 3k
= (4, 5, 3)
Passo 4
Calculando a Magnitude do Produto Vetorial:
A magnitude do produto vetorial | AB times AC | = raiz4^2 + 5^2 + 3^2 = raiz16 + 25 + 9 = raiz50 = 5raiz2 nos dá duas vezes a área do triângulo.
Área = 12 | AB times AC | = 12 times 5raiz2 = 5raiz22
Área do Triângulo:
Á
Passo 5
Calculando a Base | AB | = raiz1^2 + 1^2 + (-3)^2 = raiz1 + 1 + 9 = raiz11 :
Vamos calcular a magnitude do vetor , que é a base do triângulo.
Passo 6
Calculando a Altura:
A altura Área = 12 times Base times A relativa à base h = 2 times ÁreaBase = 2 times 5raiz22raiz11 = 5raiz2raiz11 pode ser encontrada usando a fórmula da área do triângulo:
h = 5raiz2 times raiz1111 = 5raiz2211 = 511raiz22 Á