Quais das transformações abaixo são lineares?
(b)
.
(b)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação
definida por
. O conteúdo da matéria aqui é transformações lineares. Para resolver, vamos precisar entender o que caracteriza uma transformação linear e verificar se
atende a esses critérios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que faz uma transformação ser linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, as seguintes propriedades são verdadeiras:
- Adição (T(u + v) = T(u) + T(v))
- Multiplicação por escalar (T(cu) = cT(u))
Além disso, uma transformação linear deve passar pela origem, ou seja,
.
Passo 3
Vamos verificar a primeira propriedade: Adição. Pegue dois vetores quaisquer
e
.
Calculando
:
Calculando
:
Comparando os resultados, vemos que o segundo componente não coincide:
Portanto, a propriedade da adição não é satisfeita.
Passo 4
Mesmo que já tenhamos encontrado que a transformação
não é linear pela falha na propriedade da adição, vamos verificar a segunda propriedade para completar a análise.
Verificando Multiplicação por escalar. Seja
um escalar e
.
Calculando
:
Calculando
:
Aqui, novamente, o segundo componente não coincide a menos que
:
Então, a propriedade da multiplicação por escalar também não é satisfeita para valores gerais de
.
Passo 5
Além disso, vamos verificar se a transformação passa pela origem:
Isso confirma mais uma vez que
não é linear.
Resposta
A transformação
não é linear, pois não satisfaz as propriedades de adição e multiplicação por escalar necessárias para ser considerada uma transformação linear.