Quais das transformações abaixo são lineares?
(b) T: R^3 longrightarrow R^3, T(x, y, z)=(3 x, 2,5 z).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação definida por . O conteúdo da matéria aqui é transformações lineares. Para resolver, vamos precisar entender o que caracteriza uma transformação linear e verificar se atende a esses critérios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que faz uma transformação ser linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores e qualquer escalar , as seguintes propriedades são verdadeiras:
  1. Adição (T(u + v) = T(u) + T(v))
  2. Multiplicação por escalar (T(cu) = cT(u))
Além disso, uma transformação linear deve passar pela origem, ou seja, .

Passo 3

Vamos verificar a primeira propriedade: Adição. Pegue dois vetores quaisquer T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (3(x1 + x2), 2, 5(z1 + z2)) = (3x1 + 3x2, 2, 5z1 + 5z2) e T(x1, y1, z1) + T(x2, y2, z2) = (3x1, 2, 5z1) + (3x2, 2, 5z2) = (3x1 + 3x2, 4, 5z1 + 5z2) .
Calculando 2 neq 4 :
Calculando :
Comparando os resultados, vemos que o segundo componente não coincide:
Portanto, a propriedade da adição não é satisfeita.

Passo 4

Mesmo que já tenhamos encontrado que a transformação T(cx, cy, cz) = (3(cx), 2, 5(cz)) = (3c x, 2, 5c z) não é linear pela falha na propriedade da adição, vamos verificar a segunda propriedade para completar a análise.
Verificando Multiplicação por escalar. Seja c(3x, 2, 5z) = (3c x, 2c, 5c z) um escalar e 2 neq 2c a menos que c = 1 .
Calculando :
Calculando :
Aqui, novamente, o segundo componente não coincide a menos que :
Então, a propriedade da multiplicação por escalar também não é satisfeita para valores gerais de .

Passo 5

Além disso, vamos verificar se a transformação passa pela origem:
T(0, 0, 0) = (3 cdot 0, 2, 5 cdot 0) = (0, 2, 0) neq (0, 0, 0)
Isso confirma mais uma vez que não é linear.

Resposta

A transformação não é linear, pois não satisfaz as propriedades de adição e multiplicação por escalar necessárias para ser considerada uma transformação linear.

Exercícios relacionados