O vetor forma um ângulo de com o vetor , onde A=(0,3,4) e B=(m,-1,2). Calcule o valor de m.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor v = (-1, -1, -2) que forma um ângulo de 60^circ com o vetor AB, onde os pontos A = (0, 3, 4) e B = (m, -1, 2). Nosso objetivo é encontrar o valor de m.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de produto escalar e magnitude de vetores. O produto escalar nos ajuda a relacionar o ângulo entre dois vetores, e a magnitude é basicamente o comprimento do vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor AB. Isso é simples: subtraímos as coordenadas de A das coordenadas de B.
AB = B - A = (m - 0, -1 - 3, 2 - 4) = (m, -4, -2)
Passo 3
Agora, vamos lembrar da fórmula do produto escalar que relaciona dois vetores e o ângulo entre eles:
v cdot AB = |v| cdot |AB| cdot cos(theta)
Aqui, theta = 60^circ e cos(60^circ) = 0.5. Nosso objetivo é encontrar m, então vamos substituir e resolver a equação.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular o produto escalar v cdot AB:
v cdot AB = (-1) cdot m + (-1) cdot (-4) + (-2) cdot (-2) = -m + 4 + 4 = -m + 8
Passo 5
Em seguida, vamos calcular as magnitudes dos vetores: