O vetor v=(-1,-1,-2) forma um ângulo de 60^circ com o vetor A B, onde A=(0,3,4) e B=(m,-1,2). Calcule o valor de m.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor v = (-1, -1, -2) que forma um ângulo de 60^circ com o vetor AB, onde os pontos A = (0, 3, 4) e B = (m, -1, 2). Nosso objetivo é encontrar o valor de m.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de produto escalar e magnitude de vetores. O produto escalar nos ajuda a relacionar o ângulo entre dois vetores, e a magnitude é basicamente o comprimento do vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor AB. Isso é simples: subtraímos as coordenadas de A das coordenadas de B.
AB = B - A = (m - 0, -1 - 3, 2 - 4) = (m, -4, -2)

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula do produto escalar que relaciona dois vetores e o ângulo entre eles:
v cdot AB = |v| cdot |AB| cdot cos(theta)
Aqui, theta = 60^circ e cos(60^circ) = 0.5. Nosso objetivo é encontrar m, então vamos substituir e resolver a equação.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular o produto escalar v cdot AB:
v cdot AB = (-1) cdot m + (-1) cdot (-4) + (-2) cdot (-2) = -m + 4 + 4 = -m + 8

Passo 5

Em seguida, vamos calcular as magnitudes dos vetores:
|v| = raiz(-1)^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6
|AB| = raizm^2 + (-4)^2 + (-2)^2 = raizm^2 + 16 + 4 = raizm^2 + 20

Passo 6

Agora, substituímos tudo na fórmula do produto escalar:
- m + 8 = |v| cdot |AB| cdot cos(60^circ) = raiz6 cdot raizm^2 + 20 cdot 0.5
Simplificando:
- m + 8 = 0.5 cdot raiz6 cdot raizm^2 + 20

Passo 7

Para resolver essa equação, vamos primeiro isolar os termos com m. Em seguida, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
(-m + 8)^2 = (0.5 cdot raiz6 cdot raizm^2 + 20)^2
Isso simplifica para:
(m - 8)^2 = 1.5(m^2 + 20)

Passo 8

Vamos expandir o lado esquerdo e distribuir o 1.5 no lado direito:
m^2 - 16m + 64 = 1.5m^2 + 30
Agora, vamos trazer todos os termos para um lado da equação:
m^2 - 16m + 64 - 1.5m^2 - 30 = 0
Simplificando:
-0.5m^2 - 16m + 34 = 0
Multiplicando toda a equação por -2 para facilitar:
m^2 + 32m - 68 = 0

Passo 9

Agora temos uma equação quadrática padrão. Vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar os valores de m:
m = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde, neste caso, a = 1, b = 32, e c = -68.
Calculando o discriminante:
De
Como De é um quadrado perfeito ( raiz1296 = 36), temos duas soluções reais:
m = -32 pm 362

Passo 10

Resolvendo as duas possibilidades:
  1. m = -32 + 362 = 42 = 2
  2. m = -32 - 362 = -682 = -34

Resposta

Os valores possíveis para m são 2 ou -34.

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