Seja y(t) a solução geral da EDO y^prime+2 y=e^-2 t. O valor de lim t +infty y(t) é:
b) -12;

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado fala sobre encontrar o limite, quando vai para mais infinito, da solução geral da equação diferencial ordinária (EDO) dada por . Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de resolução de EDOs lineares de primeira ordem e entender como calcular o limite de funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma EDO linear de primeira ordem e pode ser resolvida usando o fator integrante.

Passo 3

O fator integrante mu(t) = e^integral 2 , dt = e^2t é dado por:
e^2t y' + 2 e^2t y = e^2t e^-2t Rightarrow e^2t y' + 2 e^2t y = 1
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:

Passo 4

A esquerda da equação agora é a derivada do produto ddt(e^2t y) = 1 . Portanto:
e^2t y = t + C
Integrando ambos os lados em relação a :
onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, isolamos y(t) = e^-2t(t + C) para encontrar a solução geral:

Passo 6

Para encontrar o limite de limt to +infty y(t) = limt to +infty e^-2t(t + C) quando tende a mais infinito, analisamos:
Sabemos que tende a 0 muito mais rápido que tende a infinito. Portanto, o produto tende a 0.

Resposta

A alternativa correta é que . Porém, como a opção b) é , nenhuma das alternativas apresentadas está correta com base no cálculo realizado.

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