Seja y(t) a solução geral da EDO y^prime+2 y=e^-2 t. O valor de lim t +infty y(t) é:
a) -1

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo linear: . A pergunta quer saber qual é o limite da solução geral dessa EDO quando vai para mais infinito, ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver essa EDO para encontrar a solução geral . Como é uma equação linear de primeira ordem, a gente usa o fator integrante. A equação está no formato , onde e .

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(t) = e^integral P(t)dt = e^integral 2 dt = e^2t usando a fórmula:
Esse fator vai ajudar a transformar a equação em algo mais fácil de integrar.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
e^2ty' + 2e^2ty = e^2te^-2t = 1
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto .

Passo 5

Escrevemos a equação como a derivada de um produto:
ddt(e^2ty) = 1
Agora, integremos ambos os lados em relação a e^2ty = integral 1 dt = t + C :
onde é a constante de integração.

Passo 6

Isolamos y(t) = (t + C)e^-2t para encontrar a solução geral:
Então, a solução geral da EDO é .

Passo 7

Agora, queremos o limite dessa solução quando limt to +infty y(t) = limt to +infty (t + C)e^-2t vai para mais infinito:
O termo cresce linearmente, mas decai exponencialmente. Nesse caso, o decaimento exponencial domina, fazendo com que todo o produto vá para zero.

Resposta

A resposta final é .

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