Seja y(t) a solução geral da EDO y^prime+2 y=e^-2 t. O valor de lim t +infty y(t) é:
e) 1 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma equação diferencial ordinária (EDO) do primeiro grau:
y' + 2y = e^-2t
Nosso objetivo é encontrar o limite de quando tende ao infinito. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, identificamos os termos da equação:
  • mu(t) = e^integral P(t) dt = e^integral 2 dt = e^2t (o coeficiente de )
  • (o termo independente)
Vamos calcular o fator integrante , que é dado por:

Passo 3

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
e^2t y' + 2 e^2t y = e^2t e^-2t
Isso simplifica para:
e^2t y' + 2 e^2t y = 1
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto ddt(y e^2t) = 1 :

Passo 4

Integrando ambos os lados em relação a integral ddt(y e^2t) dt = integral 1 dt :
y e^2t = t + C
Isso resulta em:
y(t) = (t + C) e^-2t
Onde é a constante de integração. Agora, isolamos :

Passo 5

Agora, queremos encontrar:
limt to +infty y(t) = limt to +infty (t + C) e^-2t
Observando o comportamento dos termos:
  • limt to +infty y(t) = 0 tende a 0 quando vai para o infinito, porque o crescimento exponencial negativo domina o crescimento linear de .
  • também tende a 0.
Portanto, o limite é:

Resposta

0

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