Sejam T, S: R^3 longrightarrow R^3 transformações lineares e
(ccc 2 & 7 & 5 -1 & 2 & 1 1 & -1 & 1 ), (ccc -1 & -2 & 1 7 & -5 & 1 1 & -1 & 1 )
respectivamente, as matrizes de T e de S nas bases canônicas de R^3. Determine a matriz de ST nas bases canônicas.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem duas transformações lineares T = 2 & 7 & 5 -1 & 2 & 1 1 & -1 & 1 , S = -1 & -2 & 1 7 & -5 & 1 1 & -1 & 1 e que atuam de para . As matrizes dessas transformações nas bases canônicas são dadas por:
O objetivo é encontrar a matriz da composição das transformações nas bases canônicas. Para isso, vamos precisar multiplicar as matrizes e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a composição de duas transformações lineares corresponde à multiplicação das suas matrizes. Ou seja, para encontrar a matriz de S circ T = S cdot T , devemos multiplicar a matriz de pela matriz de :

Passo 3

Vamos agora multiplicar as duas matrizes. A multiplicação de matrizes funciona assim: cada elemento da matriz resultante é obtido multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda matriz e somando os resultados.
Vamos chamar a matriz resultante de ST = S cdot T = a & b & c d & e & f g & h & i :
Vamos calcular cada elemento passo a passo.

Passo 4

Vamos calcular cada elemento da matriz a = (-1) cdot 2 + (-2) cdot (-1) + 1 cdot 1 = -2 + 2 + 1 = 1 :
  1. Elemento b = (-1) cdot 7 + (-2) cdot 2 + 1 cdot (-1) = -7 - 4 - 1 = -12 :
c = (-1) cdot 5 + (-2) cdot 1 + 1 cdot 1 = -5 - 2 + 1 = -6
  1. Elemento d = 7 cdot 2 + (-5) cdot (-1) + 1 cdot 1 = 14 + 5 + 1 = 20 :
e = 7 cdot 7 + (-5) cdot 2 + 1 cdot (-1) = 49 - 10 - 1 = 38
  1. Elemento f = 7 cdot 5 + (-5) cdot 1 + 1 cdot 1 = 35 - 5 + 1 = 31 :
g = 1 cdot 2 + (-1) cdot (-1) + 1 cdot 1 = 2 + 1 + 1 = 4
  1. Elemento h = 1 cdot 7 + (-1) cdot 2 + 1 cdot (-1) = 7 - 2 -1 = 4 :
i = 1 cdot 5 + (-1) cdot 1 + 1 cdot 1 = 5 -1 +1 = 5
  1. Elemento :
  1. Elemento :
  1. Elemento :
  1. Elemento :
  1. Elemento :

Resposta

A matriz da composição ST = 1 & -12 & -6 20 & 38 & 31 4 & 4 & 5 nas bases canônicas é:

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