Calcule a integral
integral duplaD e^(x+2 y) /(x-y)(x-y)^2 d x d y
onde
D=(x, y) in R^2: 1 <= x-y <= 2, y <= 0 e 2 x+y >= 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral dupla. O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaD e^(x+2 y) /(x-y)(x-y)^2 , dx , dy
sobre a região D = (x, y) in R^2 : 1 <= x - y <= 2, , y <= 0 e 2x + y >= 0 definida por
Vamos usar mudanças de variável para simplificar essa integral. Precisamos entender como mudar as variáveis de e para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral. Observamos que u = x - y aparece tanto no numerador quanto no denominador do expoente e no termo ao quadrado. Vamos então fazer uma substituição:
v = 2x + y
Agora, precisamos escolher uma segunda variável que nos ajude a simplificar a região de integração. Vamos definir:
Essa escolha é estratégica porque a segunda condição da região é justamente , o que vai ajudar na definição dos limites de integração.

Passo 3

Com as novas variáveis u = x - y v = 2x + y e u + v = 3x Rightarrow x = u + v3 , precisamos expressar u - v = -3y Rightarrow y = v - u3 e em termos de e . Vamos resolver o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Subtraindo a segunda equação da primeira:

Passo 4

Agora, precisamos calcular o jacobiano dessa transformação, que é o determinante da matriz das derivadas parciais de J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v e partial xpartial u = 13, partial xpartial v = 13, partial ypartial u = -13, partial ypartial v = 13 em relação a J = 13 & 13 -13 & 13 = (13 cdot 13) - (13 cdot -13) = 19 + 19 = 29 e :
Calculando as derivadas:
Então,
O valor absoluto do jacobiano é .

Passo 5

Agora, vamos reescrever a integral original em termos de integral duplaD e^(x+2 y)/(x-y)(x - y)^2 , dx , dy = integral duplaD' e^( u + v3 + 2 cdot v - u3 ) / uu^2 cdot |J| , du , dv e u + v3 + 2 cdot v - u3 u = u + v + 2v - 2u3u = -u + 3v3u = -13 + vu . Substituindo:
integral duplaD' e^-1/3 + v/uu^2 cdot 29 , du , dv = 29 e^-1/3 integral duplaD' e^v/uu^2 , du , dv
Simplificando o expoente:
Portanto,

Passo 6

Agora, precisamos determinar os limites de integração na nova região 1 <= u <= 2, y <= 0, v >= 0 . Originalmente, a região v - u3 <= 0 Rightarrow v <= u foi definida por:
Substituindo :
Portanto, para variando de 1 a 2, varia de 0 a .

Passo 7

Agora, podemos escrever a integral como:
29 e^-1/3 integralu=1^2 integralv=0^u e^v/uu^2 , dv , du
Vamos primeiro integrar em relação a integral0^u e^v/u , dv = u [ e^v/u ]0^u = u ( e^1 - 1 ) :

Passo 8

Substituindo de volta na integral:
29 e^-1/3 integral1^2 u(e^1 - 1)u^2 , du = 29 e^-1/3 (e - 1) integral1^2 1u , du
A integral de integral1^2 1u , du = ln(u) g|1^2 = ln(2) - ln(1) = ln(2) é:

Resposta

Portanto, a integral vale
29 e^-1/3 (e - 1) ln(2)

Exercícios relacionados