Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral dupla. O enunciado pede para calcular a integral dupla
sobre a região definida por
Vamos usar mudanças de variável para simplificar essa integral. Precisamos entender como mudar as variáveis de e para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral. Observamos que aparece tanto no numerador quanto no denominador do expoente e no termo ao quadrado. Vamos então fazer uma substituição:
Agora, precisamos escolher uma segunda variável que nos ajude a simplificar a região de integração. Vamos definir:
Essa escolha é estratégica porque a segunda condição da região é justamente , o que vai ajudar na definição dos limites de integração.
Passo 3
Com as novas variáveis e , precisamos expressar e em termos de e . Vamos resolver o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Passo 4
Agora, precisamos calcular o jacobiano dessa transformação, que é o determinante da matriz das derivadas parciais de e em relação a e :
Calculando as derivadas:
Então,
O valor absoluto do jacobiano é .
Passo 5
Agora, vamos reescrever a integral original em termos de integral duplaD e^(x+2 y)/(x-y)(x - y)^2 , dx , dy = integral duplaD' e^( u + v3 + 2 cdot v - u3 ) / uu^2 cdot |J| , du , dv e u + v3 + 2 cdot v - u3 u = u + v + 2v - 2u3u = -u + 3v3u = -13 + vu . Substituindo:
integral duplaD' e^-1/3 + v/uu^2 cdot 29 , du , dv = 29 e^-1/3 integral duplaD' e^v/uu^2 , du , dv
Simplificando o expoente:
Portanto,
Passo 6
Agora, precisamos determinar os limites de integração na nova região 1 <= u <= 2, y <= 0, v >= 0 . Originalmente, a região v - u3 <= 0 Rightarrow v <= u foi definida por:
Substituindo :
Portanto, para variando de 1 a 2, varia de 0 a .
Passo 7
Agora, podemos escrever a integral como:
29 e^-1/3 integralu=1^2 integralv=0^u e^v/uu^2 , dv , du
Vamos primeiro integrar em relação a integral0^u e^v/u , dv = u [ e^v/u ]0^u = u ( e^1 - 1 ) :
Passo 8
Substituindo de volta na integral:
29 e^-1/3 integral1^2 u(e^1 - 1)u^2 , du = 29 e^-1/3 (e - 1) integral1^2 1u , du
A integral de integral1^2 1u , du = ln(u) g|1^2 = ln(2) - ln(1) = ln(2) é: