Calcule a integral
onde

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral dupla. O enunciado pede para calcular a integral dupla
sobre a região definida por
Vamos usar mudanças de variável para simplificar essa integral. Precisamos entender como mudar as variáveis de e para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral. Observamos que aparece tanto no numerador quanto no denominador do expoente e no termo ao quadrado. Vamos então fazer uma substituição:
Agora, precisamos escolher uma segunda variável que nos ajude a simplificar a região de integração. Vamos definir:
Essa escolha é estratégica porque a segunda condição da região é justamente , o que vai ajudar na definição dos limites de integração.

Passo 3

Com as novas variáveis e , precisamos expressar e em termos de e . Vamos resolver o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Subtraindo a segunda equação da primeira:

Passo 4

Agora, precisamos calcular o jacobiano dessa transformação, que é o determinante da matriz das derivadas parciais de e em relação a e :
Calculando as derivadas:
Então,
O valor absoluto do jacobiano é .

Passo 5

Agora, vamos reescrever a integral original em termos de e . Substituindo:
Simplificando o expoente:
Portanto,

Passo 6

Agora, precisamos determinar os limites de integração na nova região . Originalmente, a região foi definida por:
Substituindo :
Portanto, para variando de 1 a 2, varia de 0 a .

Passo 7

Agora, podemos escrever a integral como:
Vamos primeiro integrar em relação a :

Passo 8

Substituindo de volta na integral:
A integral de é:

Resposta

Portanto, a integral vale

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