Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral dupla. O enunciado pede para calcular a integral dupla
sobre a região definida por
Vamos usar mudanças de variável para simplificar essa integral. Precisamos entender como mudar as variáveis de e para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral. Observamos que aparece tanto no numerador quanto no denominador do expoente e no termo ao quadrado. Vamos então fazer uma substituição:
Agora, precisamos escolher uma segunda variável que nos ajude a simplificar a região de integração. Vamos definir:
Essa escolha é estratégica porque a segunda condição da região é justamente , o que vai ajudar na definição dos limites de integração.
Passo 3
Com as novas variáveis e , precisamos expressar e em termos de e . Vamos resolver o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Passo 4
Agora, precisamos calcular o jacobiano dessa transformação, que é o determinante da matriz das derivadas parciais de e em relação a e :
Calculando as derivadas:
Então,
O valor absoluto do jacobiano é .
Passo 5
Agora, vamos reescrever a integral original em termos de e . Substituindo:
Simplificando o expoente:
Portanto,
Passo 6
Agora, precisamos determinar os limites de integração na nova região . Originalmente, a região foi definida por: