Sejam
e seja
uma curva parametrizada por
. Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada
, onde
e
. A curva
é um círculo parametrizado por
para
entre
e
. Para resolver essa integral, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região interna da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que para uma curva fechada simples
e uma região
limitada por
:
Então, ao invés de calcular a integral de linha diretamente, podemos calcular a integral dupla sobre a região
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Primeiro,
:
Usando a regra do quociente:
Agora,
:
Usando a regra do quociente:
Passo 4
Agora, aplicando o Teorema de Green:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Passo 5
Perceba que a diferença
é zero. Isso significa que a integral dupla sobre a região
também será zero:
Resposta
A integral
é igual a 0.
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Calcule a integral
onde
Calcule
Seja
o domínio limitado por
tal que
e
. Determine
Qual as principais diferenças entre o método de Gauss-Seidel e o método de Jacobi?