Sejam e seja uma curva parametrizada por . Calcule

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada , onde e . A curva é um círculo parametrizado por para entre e . Para resolver essa integral, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região interna da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que para uma curva fechada simples e uma região limitada por :
Então, ao invés de calcular a integral de linha diretamente, podemos calcular a integral dupla sobre a região .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Primeiro, :
Usando a regra do quociente:
Agora, :
Usando a regra do quociente:

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema de Green:
Substituindo as derivadas que calculamos:

Passo 5

Perceba que a diferença é zero. Isso significa que a integral dupla sobre a região também será zero:

Resposta

A integral é igual a 0.

Exercícios relacionados

Calcule a integral
onde
Calcule
Seja o domínio limitado por tal que e . Determine
Qual as principais diferenças entre o método de Gauss-Seidel e o método de Jacobi?