Sejam P(x, y)=y4 x^2+y^2, Q(x, y)=-x4 x^2+y^2 e seja gamma uma curva parametrizada por r(t)=(raiz2 cos t, raiz2 sen t), com t in[0,2 pi]. Calcule
ointgamma P d x+Q d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada , onde e . A curva é um círculo parametrizado por para entre e . Para resolver essa integral, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região interna da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que para uma curva fechada simples ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy e uma região limitada por :
Então, ao invés de calcular a integral de linha diretamente, podemos calcular a integral dupla sobre a região .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Primeiro, Q(x, y) = -x4x^2 + y^2 :
partial Qpartial x = -(1)(4x^2 + y^2) - x(8x)(4x^2 + y^2)^2 = -4x^2 + y^2 - 8x^2(4x^2 + y^2)^2 = --4x^2 + y^2(4x^2 + y^2)^2 = 4x^2 - y^2(4x^2 + y^2)^2
Usando a regra do quociente:
P(x, y) = y4x^2 + y^2
Agora, partial Ppartial y = (1)(4x^2 + y^2) - y(2y)(4x^2 + y^2)^2 = 4x^2 + y^2 - 2y^2(4x^2 + y^2)^2 = 4x^2 - y^2(4x^2 + y^2)^2 :
Usando a regra do quociente:

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema de Green:
ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy
Substituindo as derivadas que calculamos:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 4x^2 - y^2(4x^2 + y^2)^2 - 4x^2 - y^2(4x^2 + y^2)^2 = 0

Passo 5

Perceba que a diferença integral duplaD 0 , dx , dy = 0 é zero. Isso significa que a integral dupla sobre a região também será zero:

Resposta

A integral é igual a 0.

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