Seja x^2 - y^2 = 1 e suponha que x e y são funções de t. Determine dx/dt sabendo que x = 4, y = 5 e dy/dt = 0,08.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação , onde e são funções do tempo . Queremos encontrar a taxa de variação de em relação a , ou seja, , sabendo que , e .
Para resolver isso, vamos usar a derivação implícita, que nos ajuda a encontrar derivadas quando as variáveis estão relacionadas por uma equação.

Passo 2

Vamos começar derivando ambos os lados da equação em relação a . Isso significa que vamos calcular a derivada de cada termo com respeito a :

Passo 3

Agora, vamos calcular cada uma dessas derivadas:
  • Para , usamos a regra da cadeia:
  • Para , também usamos a regra da cadeia:
  • E a derivada de uma constante, , é zero:

Passo 4

Substituindo essas derivadas na equação original, temos:

Passo 5

Agora, vamos isolar . Primeiro, movemos o termo com para o outro lado da equação:

Passo 6

Para encontrar , dividimos ambos os lados por :

Passo 7

Agora, substituímos os valores fornecidos no problema: , e :

Passo 8

Calculando a multiplicação:

Resposta

A taxa de variação de em relação a é .

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