Seja
e suponha que
e
são funções de
. Determine
sabendo que
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação
, onde
e
são funções do tempo
. Queremos encontrar a taxa de variação de
em relação a
, ou seja,
, sabendo que
,
e
.
Para resolver isso, vamos usar a derivação implícita, que nos ajuda a encontrar derivadas quando as variáveis estão relacionadas por uma equação.
Passo 2
Vamos começar derivando ambos os lados da equação
em relação a
. Isso significa que vamos calcular a derivada de cada termo com respeito a
:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada uma dessas derivadas:
-
Para
, usamos a regra da cadeia: -
Para
, também usamos a regra da cadeia: -
E a derivada de uma constante,
, é zero:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na equação original, temos:
Passo 5
Agora, vamos isolar
. Primeiro, movemos o termo com
para o outro lado da equação:
Passo 6
Para encontrar
, dividimos ambos os lados por
:
Passo 7
Agora, substituímos os valores fornecidos no problema:
,
e
:
Passo 8
Calculando a multiplicação:
Resposta
A taxa de variação de
em relação a
é
.