Seja x^2 - y^2 = 1 e suponha que x e y são funções de t. Determine dx/dt sabendo que x = 4, y = 5 e dy/dt = 0,08.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação , onde e são funções do tempo . Queremos encontrar a taxa de variação de em relação a , ou seja, , sabendo que , e .
Para resolver isso, vamos usar a derivação implícita, que nos ajuda a encontrar derivadas quando as variáveis estão relacionadas por uma equação.

Passo 2

Vamos começar derivando ambos os lados da equação em relação a . Isso significa que vamos calcular a derivada de cada termo com respeito a :

Passo 3

Agora, vamos calcular cada uma dessas derivadas:
  • Para , usamos a regra da cadeia:
  • Para , também usamos a regra da cadeia:
  • E a derivada de uma constante, , é zero:

Passo 4

Substituindo essas derivadas na equação original, temos:

Passo 5

Agora, vamos isolar . Primeiro, movemos o termo com para o outro lado da equação:

Passo 6

Para encontrar , dividimos ambos os lados por :

Passo 7

Agora, substituímos os valores fornecidos no problema: , e :

Passo 8

Calculando a multiplicação:

Resposta

A taxa de variação de em relação a é .

Exercícios relacionados

Seja F(x, y) = 1 + raiz(4 - y^2).
Detemine e esboce a curva de nível F(x, y) = 2.
Sabendo-se que D(x, y) = 2y + 3x^2 - 2x + 4 representa a declinação magnética, em °, do ponto (x, y) de uma superfície plana em algum lugar no planeta Terra. Pede-se:
a) A declinação magnética do ponto (4, -16)
Sejam g(x)=3 x+2 integral1^x sen^2(pi4 t^2) d t e p(x)=a(x-1)^2+b(x-1)+c.
Se p(1)=g(1), p^prime(1)=g^prime(1) e p^prime prime(1)=g^prime prime(1)pi, quanto vale a.b.c?
Nas questões de 1 a 4 encontre dy/ dx através de derivação implícita:
raiz(x + y) = x