Seja o operador linear dado por e considere as bases ordenadas e de .
Obtenha e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um operador linear definido por . Temos duas bases ordenadas para :
  • Base : (a base padrão)
  • Base :
Nosso objetivo é encontrar as matrizes de representação de nas combinações de bases e , ou seja, , , e .
Para resolver isso, vamos precisar entender como representar uma transformação linear em diferentes bases, o que envolve mudanças de base e como aplicar o operador a cada vetor das bases.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar , que é a matriz de na base padrão para ambos o domínio e o contradomínio. Isso significa que aplicamos a cada vetor da base e expressamos o resultado também na base .
A base é .
Aplicando a :
E a :
Agora, expressamos esses resultados em termos da base :
Portanto, a matriz é:

Passo 3

Agora vamos calcular , que representa com domínio na base e contradomínio na base .
Para isso, seguimos os mesmos passos: aplicamos a cada vetor da base e expressamos o resultado na base .
Vejamos:
Precisamos expressar e na base .
Para , queremos encontrar escalares e tais que:
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então:
Portanto:
Para , obviamente:
Portanto, a matriz é:

Passo 4

Agora vamos encontrar , que representa com domínio na base e contradomínio na base .
Isso significa que aplicamos a cada vetor da base e expressamos o resultado na base .
A base é .
Aplicando a :
E a :
Como a base é a base padrão, já sabemos que:
Portanto, a matriz é:

Passo 5

Por fim, vamos determinar , que representa com domínio e contradomínio na base .
Para isso, aplicamos a cada vetor da base e expressamos o resultado também na base .
Temos:
Precisamos expressar e na base .
Para :
Já resolvemos isso no passo 3 e encontramos:
Então:
Para :
Resolvendo:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira:
Então:
Portanto:
Assim, a matriz é:

Resposta

As matrizes de representação de são:

Exercícios relacionados

Seja a transformação linear dada por .
Obtenha , sendo e respectivamente as bases canônicas de e .
Sejam e dois subconjuntos do .
Prove que e são subespaços vetoriais.
Sejam e dois subconjuntos do .
Encontre um conjunto de geradores para e . Qual é a dimensão de e ?
Seja o operador linear dado por e considere as bases ordenadas e de .
Obtenha a matriz de em relação à base ordenada .