Seja T: C^2 C^2 o operador linear dado por T(x, y)=(x, 0) e considere as bases ordenadas alpha=(1,0),(0,1) e beta=(1, i),(-i, 2) de C^2.
Obtenha [T]alpha^alpha,[T]alpha^beta,[T]beta^alpha e [T]beta^beta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um operador linear definido por . Temos duas bases ordenadas para :
  • Base : (a base padrão)
  • Base :
Nosso objetivo é encontrar as matrizes de representação de nas combinações de bases e , ou seja, , , e .
Para resolver isso, vamos precisar entender como representar uma transformação linear em diferentes bases, o que envolve mudanças de base e como aplicar o operador a cada vetor das bases.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar T(e1) = T(1, 0) = (1, 0) , que é a matriz de T(e2) = T(0, 1) = (0, 0) na base padrão T(e1) = 1 cdot e1 + 0 cdot e2 Rightarrow 1 0 para ambos o domínio e o contradomínio. Isso significa que aplicamos T(e2) = 0 cdot e1 + 0 cdot e2 Rightarrow 0 0 a cada vetor da base [T]alpha^alpha = 1 & 0 0 & 0 e expressamos o resultado também na base .
A base é .
Aplicando a :
E a :
Agora, expressamos esses resultados em termos da base :
Portanto, a matriz é:

Passo 3

Agora vamos calcular T(e1) = (1, 0) , que representa T(e2) = (0, 0) com domínio na base (1, 0) = c1(1, i) + c2(-i, 2) e contradomínio na base c1 - i c2 = 1 i c1 + 2 c2 = 0 .
Para isso, seguimos os mesmos passos: aplicamos i c1 + 2 c2 = 0 Rightarrow c1 = -2i c2 = 2i c2 a cada vetor da base 2i c2 - i c2 = 1 Rightarrow i c2 = 1 Rightarrow c2 = -i e expressamos o resultado na base c1 = 2i cdot (-i) = 2 .
Vejamos:
(1, 0) = 2(1,i) - i(-i,2) = 2b1 -i b2
(0, 0) = 0b1 + 0b2
Precisamos expressar [T]alpha^beta = 2 & 0 -i & 0 e na base .
Para , queremos encontrar escalares e tais que:
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então:
Portanto:
Para , obviamente:
Portanto, a matriz é:

Passo 4

Agora vamos encontrar T(b1) = T(1, i) = (1, 0) , que representa T(b2) = T(-i, 2) = (-i, 0) com domínio na base (1, 0) = 1 e1 + 0 e2 Rightarrow 1 0 e contradomínio na base (-i, 0) = -i e1 + 0 e2 Rightarrow -i 0 .
Isso significa que aplicamos [T]beta^alpha = 1 & -i 0 & 0 a cada vetor da base e expressamos o resultado na base .
A base é .
Aplicando a :
E a :
Como a base é a base padrão, já sabemos que:
Portanto, a matriz é:

Passo 5

Por fim, vamos determinar T(b1) = (1, 0) , que representa T(b2) = (-i, 0) com domínio e contradomínio na base (1, 0) = c1(1, i) + c2(-i, 2) .
Para isso, aplicamos c1 = 2, c2 = -i a cada vetor da base (1, 0) = 2b1 - i b2 e expressamos o resultado também na base (-i, 0) = d1(1, i) + d2(-i, 2) .
Temos:
d1 - i d2 = -i i d1 + 2 d2 = 0
i d1 + 2 d2 = 0 Rightarrow d1 = -2i d2 = 2i d2
Precisamos expressar 2i d2 - i d2 = -i Rightarrow i d2 = -i Rightarrow d2 = -1 e d1 = 2i cdot (-1) = -2i na base (-i, 0) = -2i b1 - b2 .
Para [T]beta^beta = 2 & -2i -i & -1 :
Já resolvemos isso no passo 3 e encontramos:
Então:
Para :
Resolvendo:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira:
Então:
Portanto:
Assim, a matriz é:

Resposta

As matrizes de representação de [T]alpha^alpha = 1 & 0 0 & 0, [T]alpha^beta = 2 & 0 -i & 0, [T]beta^alpha = 1 & -i 0 & 0, [T]beta^beta = 2 & -2i -i & -1 são:

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