Seja
o operador linear dado por
e considere as bases ordenadas
e
de
.
Obtenha
e
.
Obtenha
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um operador linear
definido por
. Temos duas bases ordenadas para
:
- Base
: (a base padrão) - Base
:
Nosso objetivo é encontrar as matrizes de representação de
nas combinações de bases
e
, ou seja,
,
,
e
.
Para resolver isso, vamos precisar entender como representar uma transformação linear em diferentes bases, o que envolve mudanças de base e como aplicar o operador
a cada vetor das bases.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
, que é a matriz de
na base padrão
para ambos o domínio e o contradomínio. Isso significa que aplicamos
a cada vetor da base
e expressamos o resultado também na base
.
A base
é
.
Aplicando
a
:
E a
:
Agora, expressamos esses resultados em termos da base
:
Portanto, a matriz
é:
Passo 3
Agora vamos calcular
, que representa
com domínio na base
e contradomínio na base
.
Para isso, seguimos os mesmos passos: aplicamos
a cada vetor da base
e expressamos o resultado na base
.
Vejamos:
Precisamos expressar
e
na base
.
Para
, queremos encontrar escalares
e
tais que:
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então:
Portanto:
Para
, obviamente:
Portanto, a matriz
é:
Passo 4
Agora vamos encontrar
, que representa
com domínio na base
e contradomínio na base
.
Isso significa que aplicamos
a cada vetor da base
e expressamos o resultado na base
.
A base
é
.
Aplicando
a
:
E a
:
Como a base
é a base padrão, já sabemos que:
Portanto, a matriz
é:
Passo 5
Por fim, vamos determinar
, que representa
com domínio e contradomínio na base
.
Para isso, aplicamos
a cada vetor da base
e expressamos o resultado também na base
.
Temos:
Precisamos expressar
e
na base
.
Para
:
Já resolvemos isso no passo 3 e encontramos:
Então:
Para
:
Resolvendo:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira:
Então:
Portanto:
Assim, a matriz
é:
Resposta
As matrizes de representação de
são:
Exercícios relacionados
Seja
a transformação linear dada por
.
Obtenha , sendo
e
respectivamente as bases canônicas de
e
.
Obtenha
Sejam
e
dois subconjuntos do
.
Prove que e
são subespaços vetoriais.
Prove que
Sejam
e
dois subconjuntos do
.
Encontre um conjunto de geradores para e
. Qual é a dimensão de
e
?
Encontre um conjunto de geradores para
Seja
o operador linear dado por
e considere as bases ordenadas
e
de
.
Obtenha a matriz de em relação à base ordenada
.
Obtenha a matriz de