Sejam S1=(x, y, z) ; x=y, z=0 e S2=(x, y, z) ; x=-y dois subconjuntos do R^3.
Prove que S1 e S2 são subespaços vetoriais.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos apresenta dois conjuntos, S1 e S2, dentro do espaço tridimensional R^3. Nosso objetivo é provar que ambos são subespaços vetoriais. Para isso, vamos usar alguns conceitos de Álgebra Linear, especificamente as condições que definem um subespaço vetorial: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o conjunto S1 = (x, y, z) ; x = y, z = 0. Isso significa que em qualquer vetor desse conjunto, as componentes x e y são iguais e a componente z é sempre zero. Podemos reescrever esse conjunto como S1 = (x, x, 0) ; x in R.

Passo 3

Agora, vamos verificar se S1 contém o vetor zero. O vetor zero em R^3 é (0, 0, 0). Substituindo x = 0 na descrição de S1, temos (0, 0, 0), que está em S1. Então, a primeira condição está satisfeita.

Passo 4

Em seguida, vamos verificar se S1 é fechado sob adição. Se pegarmos dois vetores quaisquer em S1, digamos (x, x, 0) e (y, y, 0), a soma deles é (x + y, x + y, 0). Como a nova componente x + y é igual à componente y + x e a componente z continua sendo zero, o vetor resultante também está em S1. Portanto, S1 é fechado sob adição.

Passo 5

Agora, vamos verificar a última condição: fechamento sob multiplicação por escalar. Se pegarmos um vetor qualquer em S1, (x, x, 0), e multiplicarmos por um escalar c, obtemos (c x, c x, 0). Novamente, c x = c x e z continua sendo zero, então o vetor resultante está em S1. Assim, S1 é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 6

Com essas verificações, concluímos que S1 satisfaz todas as condições para ser um subespaço vetorial de R^3.

Passo 7

Agora, vamos analisar o conjunto S2 = (x, y, z) ; x = -y. Isso significa que em qualquer vetor desse conjunto, a componente x é o oposto da componente y, ou seja, y = -x. Podemos reescrever esse conjunto como S2 = (x, -x, z) ; x, z in R.

Passo 8

Primeiro, verificamos se S2 contém o vetor zero (0, 0, 0). Substituindo x = 0 na descrição de S2, temos (0, -0, 0) = (0, 0, 0), que está em S2. Então, a primeira condição está satisfeita.

Passo 9

Em seguida, vamos verificar se S2 é fechado sob adição. Pegando dois vetores quaisquer em S2, digamos (x, -x, z) e (y, -y, w), a soma deles é (x + y, -x - y, z + w). Observamos que -x - y = -(x + y), então o vetor resultante é (x + y, -(x + y), z + w), que também pertence a S2. Portanto, S2 é fechado sob adição.

Passo 10

Agora, vamos verificar o fechamento sob multiplicação por escalar. Se pegarmos um vetor qualquer em S2, (x, -x, z), e multiplicarmos por um escalar c, obtemos (c x, -c x, c z). Notamos que -c x = -c x, então o vetor resultante está em S2. Assim, S2 é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 11

Com essas verificações, concluímos que S2 também satisfaz todas as condições para ser um subespaço vetorial de R^3.

Resposta

Portanto, ambos os conjuntos S1 e S2 são subespaços vetoriais de R^3.

Exercícios relacionados