Sejam e dois subconjuntos do .
Prove que e são subespaços vetoriais.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos apresenta dois conjuntos, e , dentro do espaço tridimensional . Nosso objetivo é provar que ambos são subespaços vetoriais. Para isso, vamos usar alguns conceitos de Álgebra Linear, especificamente as condições que definem um subespaço vetorial: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o conjunto . Isso significa que em qualquer vetor desse conjunto, as componentes e são iguais e a componente é sempre zero. Podemos reescrever esse conjunto como .

Passo 3

Agora, vamos verificar se contém o vetor zero. O vetor zero em é . Substituindo na descrição de , temos , que está em . Então, a primeira condição está satisfeita.

Passo 4

Em seguida, vamos verificar se é fechado sob adição. Se pegarmos dois vetores quaisquer em , digamos e , a soma deles é . Como a nova componente é igual à componente e a componente continua sendo zero, o vetor resultante também está em . Portanto, é fechado sob adição.

Passo 5

Agora, vamos verificar a última condição: fechamento sob multiplicação por escalar. Se pegarmos um vetor qualquer em , , e multiplicarmos por um escalar , obtemos . Novamente, e continua sendo zero, então o vetor resultante está em . Assim, é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 6

Com essas verificações, concluímos que satisfaz todas as condições para ser um subespaço vetorial de .

Passo 7

Agora, vamos analisar o conjunto . Isso significa que em qualquer vetor desse conjunto, a componente é o oposto da componente , ou seja, . Podemos reescrever esse conjunto como .

Passo 8

Primeiro, verificamos se contém o vetor zero . Substituindo na descrição de , temos , que está em . Então, a primeira condição está satisfeita.

Passo 9

Em seguida, vamos verificar se é fechado sob adição. Pegando dois vetores quaisquer em , digamos e , a soma deles é . Observamos que , então o vetor resultante é , que também pertence a . Portanto, é fechado sob adição.

Passo 10

Agora, vamos verificar o fechamento sob multiplicação por escalar. Se pegarmos um vetor qualquer em , , e multiplicarmos por um escalar , obtemos . Notamos que , então o vetor resultante está em . Assim, é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 11

Com essas verificações, concluímos que também satisfaz todas as condições para ser um subespaço vetorial de .

Resposta

Portanto, ambos os conjuntos e são subespaços vetoriais de .

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