Sejam
e
dois subconjuntos do
.
Prove que
e
são subespaços vetoriais.
Prove que
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos apresenta dois conjuntos,
e
, dentro do espaço tridimensional
. Nosso objetivo é provar que ambos são subespaços vetoriais. Para isso, vamos usar alguns conceitos de Álgebra Linear, especificamente as condições que definem um subespaço vetorial: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o conjunto
. Isso significa que em qualquer vetor desse conjunto, as componentes
e
são iguais e a componente
é sempre zero. Podemos reescrever esse conjunto como
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
contém o vetor zero. O vetor zero em
é
. Substituindo
na descrição de
, temos
, que está em
. Então, a primeira condição está satisfeita.
Passo 4
Em seguida, vamos verificar se
é fechado sob adição. Se pegarmos dois vetores quaisquer em
, digamos
e
, a soma deles é
. Como a nova componente
é igual à componente
e a componente
continua sendo zero, o vetor resultante também está em
. Portanto,
é fechado sob adição.
Passo 5
Agora, vamos verificar a última condição: fechamento sob multiplicação por escalar. Se pegarmos um vetor qualquer em
,
, e multiplicarmos por um escalar
, obtemos
. Novamente,
e
continua sendo zero, então o vetor resultante está em
. Assim,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 6
Com essas verificações, concluímos que
satisfaz todas as condições para ser um subespaço vetorial de
.
Passo 7
Agora, vamos analisar o conjunto
. Isso significa que em qualquer vetor desse conjunto, a componente
é o oposto da componente
, ou seja,
. Podemos reescrever esse conjunto como
.
Passo 8
Primeiro, verificamos se
contém o vetor zero
. Substituindo
na descrição de
, temos
, que está em
. Então, a primeira condição está satisfeita.
Passo 9
Em seguida, vamos verificar se
é fechado sob adição. Pegando dois vetores quaisquer em
, digamos
e
, a soma deles é
. Observamos que
, então o vetor resultante é
, que também pertence a
. Portanto,
é fechado sob adição.
Passo 10
Agora, vamos verificar o fechamento sob multiplicação por escalar. Se pegarmos um vetor qualquer em
,
, e multiplicarmos por um escalar
, obtemos
. Notamos que
, então o vetor resultante está em
. Assim,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 11
Com essas verificações, concluímos que
também satisfaz todas as condições para ser um subespaço vetorial de
.
Resposta
Portanto, ambos os conjuntos
e
são subespaços vetoriais de
.
Exercícios relacionados
Seja
a transformação linear dada por
.
Obtenha , considerando as bases ordenadas
de
e
de
.
Obtenha
Os vetores
,
formam uma base para o
? Justifique.
Seja
a transformação linear dada por
.
Obtenha , sendo
e
respectivamente as bases canônicas de
e
.
Obtenha
Seja
o operador linear dado por
e considere as bases ordenadas
e
de
.
Obtenha e
.
Obtenha