Seja T: R^3 R^2 a transformação linear dada por T(x, y, z)=(x+y, 2 z-x).
Obtenha [T]beta^prime^beta, sendo beta e beta^prime respectivamente as bases canônicas de R^3 e R^2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . A gente precisa encontrar a matriz dessa transformação em relação às bases canônicas de e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as bases canônicas. Para beta = 1 0 0, 0 1 0, 0 0 1 , a base canônica beta' = 1 0, 0 1 é formada pelos vetores:
E para , a base canônica é:

Passo 3

Agora, para encontrar a matriz T( 1 0 0 ) = (1 + 0, 2 cdot 0 - 1) = (1, -1) , a gente precisa aplicar a transformação T( 0 1 0 ) = (0 + 1, 2 cdot 0 - 0) = (1, 0) em cada um dos vetores da base T( 0 0 1 ) = (0 + 0, 2 cdot 1 - 0) = (0, 2) e expressar o resultado em termos da base .
Vamos fazer isso passo a passo:
  1. Aplicar no primeiro vetor da base :
  1. Aplicar no segundo vetor da base :
  1. Aplicar no terceiro vetor da base :

Passo 4

Com os resultados das transformações, a gente monta a matriz [T]beta'^beta = 1 & 1 & 0 -1 & 0 & 2 . Cada coluna dessa matriz é o resultado de aplicado a cada vetor da base , escrito com relação à base .
Então, organizando:

Resposta

A matriz da transformação linear [T]beta'^beta = 1 & 1 & 0 -1 & 0 & 2 em relação às bases canônicas é:

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