Seja a transformação linear dada por .
Obtenha , sendo e respectivamente as bases canônicas de e .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . A gente precisa encontrar a matriz dessa transformação em relação às bases canônicas de e .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são as bases canônicas. Para , a base canônica é formada pelos vetores:
E para , a base canônica é:
Passo 3
Agora, para encontrar a matriz T( 1 0 0 ) = (1 + 0, 2 cdot 0 - 1) = (1, -1) , a gente precisa aplicar a transformação T( 0 1 0 ) = (0 + 1, 2 cdot 0 - 0) = (1, 0) em cada um dos vetores da base T( 0 0 1 ) = (0 + 0, 2 cdot 1 - 0) = (0, 2) e expressar o resultado em termos da base .
Vamos fazer isso passo a passo:
Aplicar no primeiro vetor da base :
Aplicar no segundo vetor da base :
Aplicar no terceiro vetor da base :
Passo 4
Com os resultados das transformações, a gente monta a matriz [T]beta'^beta = 1 & 1 & 0 -1 & 0 & 2 . Cada coluna dessa matriz é o resultado de aplicado a cada vetor da base , escrito com relação à base .
Então, organizando:
Resposta
A matriz da transformação linear [T]beta'^beta = 1 & 1 & 0 -1 & 0 & 2 em relação às bases canônicas é: